§ 8. Напротив, в индуктивных умозаключениях даже из достоверных посылок далеко не всегда могут быть получены достоверные выводы.

Правда, в нашем первом примере индуктивного умозаключения общий вывод («все дни на прошлой неделе погода стояла пасмурная») есть вывод вполне достоверный. Если о каждом из дней прошлой недели в отдельности я достоверно знаю, что в этот день погода была пасмурная, и если достоверно известно, что кроме семи перечисленных в посылках дней неделя не содержит никаких других дней, то общее, заключение, которое мы делаем из этих посылок, будет вполне достоверно.

Однако индуктивное умозаключение этого типа, дающее достоверный вывод, есть лишь один и притом, как мы увидим, наименее ценный вид индуктивных умозаключений. Все остальные виды индуктивных умозаключений – а к ним принадлежат наиболее ценные для знания виды индукции – дают выводы совершенно другого характера.

Уже во втором нашем примере индуктивного умозаключения вывод получился не строго достоверный. Если мы знаем, что некоторые перечисленные в посылках виды кошек имеют втяжные когти, и если мы знаем, кроме того, что до сих пор нам нигде никогда не случалось видеть кошек без втяжных когтей, то, зная это, мы, конечно, имеем некоторое основание предположить, что и все остальные кошки также окажутся имеющими втяжные когти.

Однако заключение это, будучи вероятным, не имеет достоверности. Это значит, что, хотя посылки и делают возможным и вероятным наше заключение, однако они не исключают также и той возможности, что среди кошек, ещё неизвестных нам, могут оказаться и такие, у которых не будет втяжных когтей.

Умозаключение, посылки которого хотя и делают заключение вероятным, однако допускают при этом возможность также заключения, противоречащего тому, какое из них выводится, называется вероятным. Индуктивные заключения, вообще говоря, – умозаключения не достоверные, но вероятные.

§ 9. Таким образом, предварительное знакомство с индуктивными умозаключениями открыло в них две черты, которыми эти умозаключения отличаются от силлогизмов. Первая из них состоит в том, что индуктивные выводы дают из частных посылок общие заключения. В этом – преимущество индуктивных выводов сравнительно с силлогизмами, в которых общий вывод никогда не может быть получен из частных посылок.

Вторая черта, отличающая индукцию от силлогизмов, состоит в том, что индуктивные выводы дают не достоверное, но всего лишь вероятное знание. По этой черте индуктивные выводы уступают силлогизмам, в которых – при условии одинаковой достоверности посылок – заключение всегда достоверно, т. е. необходимо истинно.

§ 10. Достоверностъ и, соответственно, достоверное знание не имеют степеней. Если две истины обе достоверны, то нельзя сказать, что одна из них более достоверна, чем другая. Что дважды два будет четыре, ничуть не более и не менее достоверно, чем то, что дважды три будет шесть. Теорема Пифагора не более и не менее достоверна, чем теорема о площади круга или любая другая теорема евклидовой геометрии.

Напротив, вероятность и, соответственно, вероятное знание имеют степени, т. е. могут быть более или менее вероятными. Вероятность того, что, например, метеорит упадёт на городскую площадь, во много раз меньше вероятности того, что он упадёт в океане, в поле или в лесу.

При известных условиях степень вероятности может быть вычислена математически.

Допустим, я опускаю руку через отверстие в закрытый ящик, в который в неизвестном мне порядке положены десять шаров одинаковой величины, гладкости, плотности, веса. Из этих шаров семь – синих и три – красных. Какова вероятность, что я выну красный, а не синий шар? Очевидно, для решения этого вопроса надо рассуждать следующим образом.

В нашей задаче мы можем определить полное число всех одинаково вероятных случаев как благоприятных для доставания красного шара, так и неблагоприятных для этого доставания. Число это равно десяти, так как в ящике всего десять шаров. Всех одинаково вероятных случаев, благоприятствующих доставанию красного шара, очевидно, три, так как красных шаров в ящике всего три и, доставая последовательно все десять шаров, более трёх красных из них достать нельзя. Число всех одинаково вероятных случаев, не благоприятствующих доставанию красного шара, будет семь, так как синих шаров, из которых при каждом доставании можно вытащить один вместо красного, имеется всего семь. Очевидно, степень логически обоснованной вероятности, что вытащенным окажется красный шар, будет выражаться дробью . В этой дроби числитель (3) есть число всех благоприятствующих условию задачи случаев, а знаменатель (10) – полное число всех одинаково возможных случаев, в сумме своей исчерпывающих все возможности данного испытания.

Если бы все десять шаров были красные, то степень вероятности указанного в задаче случая выразилась бы дробью , т. е. равнялась бы единице. В этом последнем случае степень вероятности, очевидно, равнялась бы достоверности.

Если бы все десять шаров были синие, то степень вероятности указанного в задаче случая выразилась бы дробью , т. е. равнялась бы нулю. В этом последнем случае степень вероятности, очевидно, равнялась бы достоверности ненаступления события.

В общей форме степень вероятности наступления события выражается дробью , в которой m – число всех благоприятствующих наступлению события случаев, a n – число всех одинаково вероятных случаев, полностью исчерпывающих испытание, т. е. представляющее сумму всех случаев – как благоприятных, так и неблагоприятных.

Степень вероятности ненаступления события, очевидно, будет выражаться формулой 1 – , т. е. .

Как бы мала ни была величина дроби , но, до тех пор пока дробь эта не стала равной нулю, имеется некоторая положительная, хотя бы ничтожная, вероятность, что данное событие наступит. Практически, конечно, степень вероятности, близкая к нулю, в расчёт не принимается. Так, хотя в Москве отнюдь не исключена возможность землетрясений, но ввиду их слабой интенсивности вероятность разрушительных землетрясений здесь весьма невелика и в практических расчётах строителей во внимание не принимается. Напротив, в Сан-Франциско, где степень вероятности разрушительных землетрясений, как показывает опыт, несравненно большая, строители должны считаться с нею в своих практических планах и расчётах.

Выводы вероятности представляют различную ценность для практической жизни и для науки. Чрезвычайно важное значение имеют выводы вероятных общих суждений из суждений о единичных и частных фактах. Такие выводы и называются индуктивными, а вся совокупность приёмов, или методов, посредством которых обосновываются эти выводы, называется индукцией.

Индуктивные методы, или виды индукции, различаются между собой по своей ценности для знания, а именно: 1) по способности давать знание новое сравнительно с тем, которое содержится в посылках, и 2) по степени вероятности, с какой различные виды индукции обосновывают общие заключения.