§ 33. Все исходные основания являются либо определениями основных понятий данной науки, либо её аксиомами.

Никакая наука – каковы бы ни были её предмет и её область – не может доказывать своих положений без точного определения понятий, входящих в эту науку и во все её доказательства. Геометрия, арифметика, механика, физика, химия, политическая экономия и т. д. начинаются с определения основных для каждой из них понятий. Будучи однажды установлено в своём содержании, определение должно мыслиться в том же самом содержании во всех рассуждениях данной науки и во всех её доказательствах. Если бы, взявшись исследовать, например, свойство плоских треугольников, мы в одном случае под словом «плоский треугольник» разумели одно содержание, а в другом–другое, противоречащее первому, то мы не могли бы доказывать свойства этих треугольников. И точно так же, если бы, взявшись исследовать законы производства и обмена товаров, политическая экономия в одном случае разумела под словом «товар» одно, а в другом – другое содержание, она не могла бы обосновывать свои учения о товаре.

§ 34. Кроме определений к числу высших оснований науки принадлежат также и аксиомы. Так называются основания, которые не доказываются данной наукой и принимаются ею в качестве исходных оснований. Примером аксиомы в арифметике может быть аксиома, согласно которой сумма данных количеств не изменяется от перестановки слагаемых количеств и т. д.

Сходство между определением и аксиомой состоит в том, что и определения и аксиомы употребляются в качестве исходных оснований доказательства, т. е. таких оснований, которые не выводятся из других оснований.

Различие между определением и аксиомой может быть легко выяснено. Определение есть установление содержания основного для данной науки понятия. Определение, например, вертикального угла предполагает согласие между всеми геометрами о том, какое содержание разумеют они, когда речь идёт о вертикальных углах. Определение понятия «товар» предполагает согласие между экономистами, по которому под «товаром» все они разумеют вещь, способную удовлетворять какую-либо потребность и способную обмениваться на другие вещи. Установление системы принятых в данной науке определений устраняет ту сбивчивость в понятиях, которая была бы неизбежной, если бы относительно терминов, означающих эти понятия, не существовало согласия.

Чем точнее определение, тем меньше опасность логических ошибок, происходящих от отсутствия определённости в мышлении. И, напротив, при отсутствии точных определений понятий всегда возможно недоразумение, состоящее в том, что собеседники или спорщики только воображают, будто рассуждают об одном и том же предмете, в действительности же каждый из них в ходе рассуждения под одним и тем же словом разумеет не совсем одно и то же (а иногда и совершенно различное) содержание.