§ 8. Наконец, и в третьем отношении – в отношении цели или задачи умозаключения – противоположность между индукцией и дедукцией также не может быть признана безусловной.

Та же полная индукция, которая, как мы уже знаем, по достоверности своих выводов должна быть поставлена в один ряд с дедуктивными выводами, не отличается от них и по характеру своих заключений. Совершенно как и в силлогизмах, заключения полной индукции представляют обычно суждения о принадлежности свойства предмету или о принадлежности предмета классу.

§ 9. До сих пор, говоря об отсутствии безусловной противоположности между дедукцией и индукцией, мы опирались на те формы индукции, которые по ходу умозаключения, по степени его вероятности и по его задаче должны быть, как полная индукция, поставлены рядом с силлогистическими, иди дедуктивными, выводами.

Но то же отсутствие безусловной противоположности между дедукцией и индукцией может быть доказано и иначе – посредством анализа тех форм индуктивных выводов, которые, как индукция Бэкона, несомненно, отличаются от силлогистических выводов и по степени вероятности заключений, никогда не достигающей полной достоверности, и по их цели, состоящей в установлении причинной связи.

И действительно, общую схему всех бэконовских индуктивных методов составляет, как мы видели, разделительно-категорический силлогизм модуса tollendo ponens.

Независимо от особого для каждого метода хода умозаключения каждый метод бэконовской индукции состоит – с логической точки зрения – в том, что, учтя всю совокупность несовместимых друг с другом обстоятельств, относительно которых возможно думать, что каждое из них может быть причиной исследуемого явления, последовательно исключают все те из них, которые, как выясняется из анализа, не могут быть такой причиной в данном случае. В результате не исключённым оказывается только одно единственное обстоятельство, которое и есть причина (или часть причины) явления. В случае метода сходства не исключённым остаётся то обстоятельство, которое одно имеет место во всех рассматриваемых случаях, в то время как все остальные обстоятельства оказываются в каждом случае различными. При методе различия не исключённым остается то обстоятельство, которым данный случай отличается от всех других случаев, когда явление наступает. При методе остатков не исключённым остаётся то обстоятельство, которое не может быть причиной ни одной составной части сложного явления, кроме той именно, причина которой должна быть установлена. Наконец, в случае метода сопутствующих изменений не исключённым остаётся то обстоятельство, которое одно изменяется в степени, в то время как все остальные во всех исследуемых случаях оказываются не изменёнными.

Итак, при всём несомненном различии, какое существует между дедукцией и индукцией, различие это отнюдь не есть безусловная противоположность исключающих друг друга видов умозаключения.

§ 10. Но этого мало. Отсутствие безусловной противоположности между дедукцией и индукцией состоит не только в том, что в ряде дедуктивных и индуктивных выводов ход умозаключения при кажущемся различии оказывается по существу один и тот же. Отсутствие безусловной противоположности между дедукцией и индукцией сказывается, кроме того, ещё и в том, что, даже будучи различными, индукция и дедукция восполняют друг друга и предполагают друг друга во множестве видов научных исследований.

Обычно научное исследование есть сложная задача, решение которой может быть достигнуто только совместным применением дедукции и индукции. Даже при выводах, которые кажутся часто индуктивными, мышление всегда опирается также и на дедукцию. Так, чтобы приступить к исследованию причины явления по одному из методов бэконовской индукции, необходимо предположить, что данное явление есть частный случай или частное проявление всеобщего закона причинной связи. Но это суждение есть заключение дедуктивного – силлогистического – вывода.

§ 11. Даже в тех случаях, когда индуктивный вывод предшествует дедуктивному доказательству, окончательная достоверность вывода достигается не индукцией, а дедукцией. Из истории наук известно, что даже в доказательствах математических теорем применялась индукция. Некоторые и притом весьма важные теоремы теории чисел, например малая теорема Ферма*, были сначала найдены посредством индукции. Путём индукции была найдена Архимедом площадь параболы: Архимед брал листы жеста одной и той же толщины, вырезал из них куски параболической формы и затем взвешивал их. И только после того, как посредством индукции была найдена формула для площади параболы, оказалось возможным вывести эту же формулу дедуктивным путём.

* Согласно этой теореме частное от деления ар-1 на р всегда имеет в остатке единицу, если р есть любое простое число, т. е. число, делящееся на самое себя и на единицу, и а есть любое число, кроме чисел, кратных р.

Однако значение всеобщих истин эти теоремы приобрели не на основе первоначальных индукций, при помощи которых они были найдены, а на основе дедуктивного доказательства. Только оно оказалось способным поднять эти положения со ступени вероятных или справедливых лишь для некоторых случаев положений на ступень истин, вполне достоверных и строго доказанных.

§ 12. Напротив, в тех случаях, когда математическое обобщение не идёт дальше неполной индукции, оно всегда может быть, так же как и любой вывод неполной индукции, опровергнуто первым фактом, противоречащим обобщению. Тот же Ферма высказал – на основе индукции - предположение, будто все числа вида 2²ⁿ+1 суть простые числа, т. е. числа, которые делятся только на самих себя и на единицу. При этом он опирался на последовательный ряд из четырёх случаев, или примеров, которые все давали результат, обобщённый Ферма в его формуле. И действительно; 2² + 1 = 5; 2⁴ + 1 = 17; 2⁸ + 1 = 257; 2¹⁶ + 1 = 65 537, т. е. все рассмотренные и образующие последовательный ряд четыре случая дают в результате простые числа и, стало быть, подтверждают формулу. Но как только Эйлер вычислил результат для следующего, пятого, случая (2³⁵ + 1) и показал, что это число – 4294 967 297 – делится на 641, предположение Ферма, найденное путём неполной индукции, оказалось опровергнутым, так как был обнаружен случай, противоречащий обобщению.

§ 13. Но и дедуктивные исследования не могут обойтись без индукции. Индукция не только ведёт к первоначальным догадкам относительно общих правил и законов, которые впоследствии обосновываются путём дедукции. Индукция ведёт к образованию тех понятий и определений, которые составляют основу и отправную точку дедуктивных наук и их дедуктивных выводов. Правда, в своей нынешней форме эти понятия, определения, аксиомы или постулаты могут показаться совершенно не зависящими ни от какого опыта и ни от какой индукции. Понятие геометра о точке, о прямой, о плоскости, о параллельных и т. д. может показаться существующим только в мысли геометра, но не в самой действительности. В действительности всякая прямая имеет не только длину, но также и ширину и высоту. В мысли геометра прямая имеет только длину. В действительности всякая точка есть весьма малое тело, т. е. так же, как и прямая, имеет и длину, и ширину, и высоту. В мысли геометра точка не имеет ни длины, ни ширины, ни высоты и т. д.

И всё же, как бы значительно ни отличались понятия и определения математики от реальных предметов и отношений этих предметов в действительном мире, понятия и определения эти возникли некогда на основе опыта и выведенных из опыта обобщений. Конечно, понятие геометра о прямой не есть только понятие о пределе, к которому стремится начерченная на бумаге тушью прямая по мере того, как её ширина и высота становятся в руках искусного чертёжника всё меньшими и меньшими. Между самой «тонкой» и «низкой» прямой, проведённой на чертеже, и прямой, мыслимой геометром, т. е. имеющей только одну длину, имеется отличие, которого не заполнят никакие возможные в опыте приложения и переходы. Здесь мысль совершает переход, в результате которого появляется нечто новое, ни из какой индукции не выводимое.

Но если бы геометр не опирался на многочисленные наблюдения, которые показывают, что можно, не изменяя длины начерченной линии, изменять, а именно уменьшать, её толщину и высоту, если бы, кроме того, ему не приходилось задаваться относительно линии рядом вопросов, для решения которых не имеет значения ни высота, ни ширина её, но единственно только её длина, то никогда геометр не оказался бы в состоянии образовать в своём, уме и при помощи своего воображения понятие о прямой как о линии, имеющей одну только длину. Индукция не может без помощи дедукции доказать ни одного положения в качестве положения безусловно достоверного, но самые понятия, лежащие в основе всех суждений, дедуктивных наук, образуются из опыта и при посредстве индуктивных обобщений.

§ 14. Взаимная связь индукции и дедукции отчётливо выступает в сложных научных исследованиях. Исследования эти редко начинаются с точной формулировки закона. Обычно точной формулировке общего закона предшествует приблизительная, часто грубая и весьма неточная проба такой формулировки, основывающаяся на весьма ещё несовершенных индукциях, или выводах из частных случаев. Но и на этой стадии большую роль играют предвосхищение общей формулы и дедуктивные выводы из неё, которые указывают путь дальнейшему исследованию. Принимая свои приблизительные обобщения в качестве истины, исследователь извлекает путём дедукции выводы о том, как предположенные им общие законы должны проявляться в других случаях, за пределами того, что уже известно из опыта. Получив эти выводы, исследователь вновь обращается к опыту, чтобы проверить, в какой степени следствия, выведенные им дедуктивно из добытого индукцией предположения, согласуются с действительными фактами.

До Галилея, например, физики, заметив, что вода поднимается в насосе, объясняли это явление тем, что природа якобы боится пустоты: по мере того как воздух выкачивается насосом, на место воздуха становится вода.

Галилей знал уже из опыта со стеклянной трубкой всасывающего насоса, что, как бы долго ни накачивали воду и как бы длинна ни была трубка насоса, поднятая насосом вода никогда не поднимается выше 32 футов. Этот установленный наблюдением факт внушил Галилею догадку, согласно которой «боязнь пустоты» не безгранична, но имеет предел. Ученик Галилея Торичелли совершенно отказался от предположения, будто природа боится пустоты. По его мысли, предел поднятия воды в насосе обусловлен тем, что на воду в трубке насоса давит земная атмосфера, имеющая ограниченную высоту над землёй и потому ограниченную тяжесть. Вес воды, поднятой до высоты 32 футов, равняется в точности весу столба атмосферы над поверхностью воды в сосуде, из которого накачивается вода в насос. Из этой догадки Торичелли сделал дедуктивный вывод. Если вес жидкости, поднятой в насосе, в точности должен быть равен весу столба атмосферы над поверхностью жидкости, то высота, на какую поднимается в каждом отдельном случае жидкость, очевидно, будет зависеть от удельного веса жидкости, взятой для испытания. Так, например, ртуть, которая почти в 14 раз тяжелее воды, очевидно, поднимется не на 32 фута, но всего лишь на 1/14 этой высоты, т. е. на 30 дюймов, так как столб ртути высотой в 30 дюймов весит столько, сколько столб воды в 32 фута. И действительно, опыты, произведённые Торичелли, показали, что дедуктивный вывод, сделанный им из предположения Галилея, полностью оправдался: ртуть поднялась не выше 30 дюймов.

И всё же это совпадение результатов опыта с дедуктивно выведенным следствием теории не было в глазах многих окончательно убедительным. Совпадение это могло быть случайным, а подъём воды и ртути в насосе на неодинаковую высоту мог быть объяснён действием особой в каждом из обоих случаев причины.

Чтобы устранить всякие сомнения в истинности догадки Торичелли, Декарт придумал, а Паскаль и его зять Перье осуществили новый опыт. Из догадки Торичелли Декарт извлёк дедуктивный вывод, проверка которого должна была принести действительное разрешение вопроса. Необходимо, рассуждал Декарт, поставить такой опыт, который не оставлял бы никаких сомнений в том, что именно давление столба атмосферы над уровнем жидкости в сосуде обусловливает предел, до которого может быть поднята жидкость в насосе. Если бы удалось показать, что с изменением веса столба воздуха над уровнем жидкости будет изменяться и высота столба той же самой жидкости, поднятой в насосе, то догадка Торичелли тем самым была бы доказана. Но вес столба воздуха, продолжал рассуждать Декарт, зависит от высоты данной местности над уровнем моря. На вершине высокой горы на поверхность жидкости будет давить не весь столб атмосферы, простирающийся от уровня моря до её внешнего предела, но лишь часть этого столба. Поэтому на вершине высокой горы уровень жидкости, поднятой в насосе, будет более низким, чем уровень той же жидкости в том же насосе у подошвы горы: вес столба воздуха на вершине горы уравновесится меньшим столбом жидкости в насосе.

Все эти рассуждения Декарта представляли ряд дедуктивных выводов из догадки Торичелли. Необходимо было проверить, насколько согласуются с этими выводами действительные факты. Эта проверка была произведена Перье.

Изложенная история развития теории барометра представляет прекрасный пример взаимной связи индукции и дедукции. От найденных путём индукции, обычно ещё несовершенных и неточных, обобщений – через следствия этих обобщений, выведенные путём дедукции, – к проверке этих следствий посредством новых опытов и новых индукций – таков обычный путь научного исследования.