§ 4. Принцип симметрии

Развитие современной физики приводит к постоянному возрастанию роли разного рода симметрий и инвариантнов. Можно предполагать, что в дальнейшем эта тенденция будет только возрастать. Если во времена классической физики высшим уровнем научного познания был уровень наиболее универсальных законов, то с возникновением квантовой и релятивистской физики на первый план начинают выходить разного рода симметрии. Развитие физики происходит сегодня в направлении поиска и выражения все более глубоких и универсальных симметрий. Что же это за понятие – «симметрия»?

В современной физике и математике понятие симметрии обобщено до идеи инвариантности в некотором классе преобразований. Предполагается следующая система смыслов, связанная с такого рода трактовкой симметрии.

Когда говорят о симметрии, то как правило предполагают наличие некоторого класса преобразований Т, в которых объект О в том или ином смысле сохраняется (остается инвариантным). Объект О дан в виде своих состояний О_i, и когда трансформация Т переводит объект О из одного состояния O_i в другое его состояние O_j, т.е. Т(O_i) = O_j, то сам объект О остается в этом преобразовании неизменным: Т(О) = О. В этом случае говорят, что объект О симметричен (инвариантен) относительно преобразований Т. Класс всех тех преобразований Т, в котором объект сохраняется, характеризует симметрию объекта. Если, например, объект О* сохраняется в более обширном классе преобразований, чем объект О, то можно говорить, что О* более симметричен (инвариантен), чем объект О.

Рассмотрим такой простой пример. Допустим, на плоскости изображены квадрат и круг. Квадрат может быть совмещен с собою только при поворотах вокруг центра, кратных 90^о, в то время как круг совпадет с собою при поворотах на любой угол. С этой точки зрения круг оказывается симметричнее, чем квадрат.

Замечательно то, что геометрическая фигура (квадрат, круг и т.д.) – это не какое-то конкретное расположение фигуры в пространстве, но то нечто инвариантное (форма), что будет продолжать сохраняться во всех самосовмещающихся преобразованиях этой фигуры. При таком подходе фигура одновременно определена и как инвариантный объект О (форма), и как конкретные свои положения в пространстве О_i. Преобразования симметрии, например, повороты, сдвиги фигуры меняют только ее конкретные положения в пространстве (т.е. ее состояния О_i), но не меняют саму фигуру как инвариантный объект О (как форму). В то же время у всякого конечного объекта есть свой предел симметрии, за границами которого возникают преобразования Т* объекта О, меняющие его самого: Т*(О)  О. Например, у фигуры можно изменить ее форму. Правда, в этом случае может быть определен более высокий уровень симметрии, с которым объект может быть отождествлен. Например, мы можем рассмотреть геометрическую фигуру не с точки зрения формы, а с точки зрения сохранения разрывов и связей ее точек. В этом случае, даже если мы будем деформировать фигуру, в то же время не делая в ней новых разрывов и склеек, мы не выйдем за границы этой более общей симметрии. Преобразования, сохраняющие разрывы и склейки, лежат в основании так называемых топологических симметрий.

Итак, симметрию можно изучать с точки зрения сохраняющих эту симметрию преобразований. Такие преобразования обладают так называемой «групповой» структурой. Группой в математике называют множество элементов с некоторой двуместной операцией о, где выполнены следующие три свойства:

1) ассоциативность: a о (b о c) = (a о b) о c для любых элементов a, b, c группы

2) существование нейтрального элемента группы e: a о e = e о a = a для любого элемента a

3) существование обратного элемента a^-1: a о a^-1 = a^-1 о a = e для любого элемента a

Например, множество целых чисел с операцией сложения + образует группу, нейтральным элементом в которой будет ноль, обратным элементом для числа k будет противоположное число (-k).

В случае разного рода симметрий структурой группы обладает множество тех преобразований, которые сохраняют симметрию объекта.

Симметрия может быть не только пространственной. Современная наука использует идею обобщенной симметрии в смысле описанной выше инвариантности объекта в соответствующих преобразованиях любой возможной природы. Например, объект, не изменяющийся во времени, будет обладать симметрией во времени. Женщина, теряющая со временем свою красоту, увы, не обладает такой симметрией. Современные женщины могут прилагать много усилий для сохранения или хотя бы имитации симметрии во времени. Герой Шварценегера из кинофильма «Хищник» выживает в страшных обстоятельствах борьбы с инопланетным монстром, в то время как все остальные участники операции погибают. Это тоже симметрия как высокая устойчивость и инвариантность в разного рода испытывающих обстоятельствах жизни. Нам нравятся люди, обладающие «жизненной симметрией», и мы сами хотели бы достичь подобной симметрии в своих сферах жизни. Разного рода процессы развития связаны с повышением симметрии и инвариантности. Например, в работах известного психолога Жана Пиаже представлены многочисленные экспериментальные и теоретические результаты его исследований развития интеллекта у детей. Главный вывод Пиаже состоит в том, что развитие интеллекта выражается в достижении все более обширных и глубоких симметрий интеллектуальных операций, в пределе образующих групповую структуру.

Таким образом, сегодня понятие симметрии оказывается все более актуальным и глубоким. Возрастает симметрия самого понимания симметрии, если так можно выразиться. Результатом этого процесса является формулировка принципа симметрии: в основе бытия лежат разного рода обобщенные симметрии. Познание этих симметрий – одна из важнейших задач современной науки.