§ 1. Доказательства и опровержения

Однако, как правило, имя и направление исследований этого видного представителя современной логики и философии науки преимущественно и ограничивается изучением указанного выше понятия. В то же время на русском языке имеется замечательная работа И.Лакатоса «Доказательства и опровержения», в которой автор, как нам представляется, постарался во многом подняться над различными враждующими школами в современной философии науки и логики, представив в сжатом виде реконструкцию развития рационального знания, его логику и динамику. С этой точки зрения работа Лакатоса представляет собой пример редкого сочетания глубокого логико-методологического анализа и удачной популяризации. Такого рода особенность этой работы ставит, по нашему мнению, задачу активного ее использования в учебном процессе. Однако следует отметить, что, даже несмотря на большую работу в направлении популяризации, проделанную Лакатосом, материал книги опирается на множество понятий и не всегда может быть охвачен в своем единстве студентами. В связи с этим существует насущная проблема своего рода концентрации и систематизации основных идей этой работы. В предлагаемых ниже материалах как раз и проводится подобная систематизация. Как надеется автор, такого рода представление основных идей И.Лакатоса из книги «Доказательства и опровержения» позволит студенту, аспиранту или преподавателю быстро войти в ее проблематику и постоянно иметь перед собою своего рода конспект этой замечательной работы. В конце сжатого изложения основных идей Лакатоса мы делаем ряд выводов и обобщений, позволяющих говорить о некотором едином методе развития рационального знания. Такого рода обобщение, с нашей точки зрения, может помочь студенту охватить логику развития знания и не потонуть в разного рода частностях.

Книга И.Лакатоса «Доказательства и опровержения»²⁸ построена в форме полилога множества учеников и учителя в некотором воображаемом классе. Ученики обозначаются названиями греческих букв: «Альфа», «Дельта», «Сигма», и т.д. Обсуждается теорема Эйлера «Для любого многогранника верно, что V-E+F=2», где V – число вершин, E – число ребер, F – число граней многогранника. После выдвижения этой догадки учитель предлагает доказательство, затем начинается критика как доказательства, так и самой догадки в форме выдвижения разными учениками тех или иных контрпримеров. В дискуссии учеников и учителя Лакатос в сжатой, концетрированной форме реконструирует действительное развитие математики, что подтверждается постоянными ссылками на исторические факты в подстрочных примечаниях. Лакатос выделяет три вида контрпримеров: 1)локальные, но не глобальные – контрпримеры для доказательства (леммы), но не для основной догадки, 2)локальные и глобальные контрпримеры – контрпримеры и для доказательства и для основной догадки, 3)глобальные и не локальные контрпримеры – против основной догадки, но не доказательства. Множество приводимых контрпримеров разного вида проблематизируют первоначальную догадку и доказательство, в результате происходит постоянное уточнение и переформулировка системы знания, знание находится в постоянном процессе трансформации, и Лакатос подробнейшим образом отслеживает все нюансы этой трансформации, выдвигает различные возникающие по ходу методы трансформации знания, постепенно двигаясь ко все более сложному образу растущего знания.

Приведем вначале очень сокращенную сводку основного хода изложения в “Доказательствах и опровержениях”.

1. Задача и догадка. Возникает основная догадка.

2. Критика догадки при помощи глобальных контрпримеров. Ученик “Альфа” предлагает глобальный контрпример “вложенный куб” (куб в кубе, Cb²). Это контрпример для основной догадки, т.к. здесь V-E+F=4.

а) Метод сдачи (Мet₁). Возможна такая точка зрения, при которой можно посчитать, что на основании глобального контрпримера следует отбросить основную догадку. Такая позиция выражает некоторую методологию, обозначаемую Лакатосом как «метод сдачи».

б) Отбрасывание контрпримера. Метод устранения монстров (Met₂). Однако возможна и другая методологическая позиция по отношению к глобальному контрпримеру, обозначаемая Лакатосом «методом устранения монстров». Ее в данном случае выражает ученик «Дельта», утверждающий, что Cb² – это не настоящий многогранник, это «монстр», не имеющий отношения к многогранникам и потому не способный опровергнуть основную догадку. Здесь начинается спор об определениях. «Дельта» говорит, что многогранник (М) – это всегда поверхность как система многоугольников (определение-1 многогранника). «Гамма» утверждает, что многогранник – это тело, или, точнее: поверхность тела (определение-2). По первому определению Cb² не является многогранником, по второму определению – является. Затем «Альфа» выдвигает глобальные и локальные контрпримеры и для определения-1, которые вновь отвергаются «Дельтой». Так все новые атаки опровергателей основной догадки успешно отражаются устранителями монстров наложением все более ограничивающих условий на определения. Причем, устранители монстров считают, что они не изменяют определений, а только уточняют их, явно проговаривая, в связи с тем или иным контрпримером, то, что с самого начала подразумевалось ими неявно и казалось очевидным. Поэтому и основная догадка не отбрасывается. Отсюда и их отношение к контрпримерам как к «монстрам». Опровергатели, наоборот, с самого начала предполагают возможность распространения определения на контрпримеры, и с их точки зрения устранители монстров меняют определения, хотя и не хотят признаться в этом. Следовательно, и основная догадка каждый раз отбрасывается, заменяясь новой, в которой фигурирует новое определение.

в) Метод включения (инкорпорации) лемм (Met₃). Здесь важны глобальные и локальные контрпримеры. Учитель предлагает новый метод – «метод включения лемм», позволяющий подключить анализ доказательства при формировании ограничивающего условия на определение многогранника, и вызванного необходимостью исключить глобальный и локальный контрпример. Например, ученик «Альфа» выдвигает новый глобальный и локальный контрпример – «увенчанный куб» (Cb^Cb), т.е. малый куб, припаянный сверху к большому кубу (припаянная грань малого куба удалена). Как локальный контрпример, увенчанный куб опровергает одну из лемм, используемых в доказательстве. Анализ причины ложности этой леммы для данного контрпримера приводит к выявлению наличия в увенчанном кубе многосвязных граней, т.е. таких граней, для которых проведение диагонали не приводит к появлению новой грани. Отсюда становится ясным и то условие (основание неложности), при котором лемма остается верной для многогранника, - это наличие в многограннике только односвязных граней, у которых число граней увеличивается на единицу при проведении любой диагонали. Новое свойство «иметь только односвязные грани» вновь добавляется к числу условий на многогранники в основной догадке, в связи с чем возникает новая уточненная догадка «Для любого многогранника с односвязными гранями верно, что V-E+F=2».

г) Метод доказательств и опровержений. Этот метод объединяет в себе предшествующие методы. Кроме того, методом доказательств и опровержений предполагается более тесное взаимоопределение доказательств и опровержений (контрпримеров). Доказательство, леммы начинают рассматриваться не только как средства обоснования основной догадки, но и как средства генерации локальных контрпримеров, которые затем необходимо пытаться сделать и глобальными. Та же методология попытки опровержения предлагается и для основной догадки – нужно пытаться не только выдвигать, но и опровергать основную догадку через поиск глобальных контрпримеров, которые затем опять необходимо представить и как локальные контрпримеры. Однако метод доказательств и опровержений предполагает каждый раз переформулировать основную догадку или доказательство при появлении контрпримеров. Кроме того, коль скоро подобная атака контрпримеров может продолжаться бесконечно, то исчезает вообще возможность достичь когда-либо окончательного доказательства и окончательных формулировок теоремы. Можно ли остановить этот регресс в бесконечность? Предлагаемые основания остановки – религиозный скептицизм и отказ от познания вообще (истина только для Бога), отказ от строгости (введение «более-менее строгих» суждений), прагматизм (истина – средство практики), историзм (истина – средство «духа времени»), как кажется, отвергаются Лакатосом. Проблема в том, чтобы выразить основание остановки рациональными средствами, в рамках некоторой новой теории познания. Подводя некоторый итог методу доказательств и опровержений, Лакатос касается краткого анализа истории математики в 19-20 вв. с точки зрения соотношения доказательства (математики) и анализа доказательства (логики). От наивной веры в абсолютность математического доказательства как некоторого мысленного эксперимента в начале 19 в. (Эйлер, Кант) происходит постепенный переход к осознанию важности анализа доказательства под давлением разного рода контрпримеров. Здесь Лакатос выделяет три революции строгости. Первая была связана с именем французского математика Огюста Коши и выразила себя в состоянии метода анализа доказательства на уровне метода устранения исключений. Вторая революция строгости связана с именем немецкого математика Карла Вейерштрасса, развив метод анализа доказательства до уровня метода доказательств и опровержений. Строгость анализа доказательства стала ставиться выше строгости самого доказательства. Новый урожай контрпримеров в начале 20 века, связанный с теорией множеств немецкого математика Георга Кантора, привел к осознанию регресса в бесконечность в анализе доказательства и поставил проблему основания остановки этого регресса. Третья революция строгости – это интуиционистская контрреволюция, решившая отбросить разрушающий логико-лингвистический педантизм анализа доказательства и разработать новые экстремистские стандарты строгости для доказательства. Логика и математика вновь были разведены. В качестве основания остановки немецким математиком Давидом Гильбертом было выдвинуто требование «кристально ясной совместимости доказательств с интуиционистской метатеорией»²⁹. При каждой революции строгости происходит все более глубокое проникновение критицизма, позволяющего подвергать критике контрпримерами все более глубокие слои знания, ранее считавшиеся неприкосновенными. При последней революции строгости интуиционизм сделал попытку остановить критику у самого порога мысленных экспериментов математики как «обосновательного слоя» (foundational layer) «хорошо знакомого основного знания» (familiar background knowledge). Позиция Лакатоса, как это видно из всей книги, состоит, по-видимому, в том, что дальнейшее развитие критицизма в 20 в. приводит к атаке и на этот последний оплот догматизма, впервые распространяя критицизм на сферу всего математического знания в целом.

Методы анализа (Met_A) и синтеза (Met_S). Все рассмотренные выше методы относились к методу анализа, поскольку ими предполагалось основное движение анализа в доказательстве от уровня основного объекта, многогранника, к уровню его элементов – многоугольников, ребер, вершин. Само доказательство в этом случае строится аналитически - как переход от многогранника к триангулированной сети, далее к треугольникам. Кроме того, само свойство эйлеровости никогда ни одним аналитическим методом не подвергалось сомнению. Ученик «Дзета» предлагает поставить более общую проблему – исследовать общее соотношение f(V,E,F)=0 количества вершин, ребер и граней многогранников, используя метод синтеза. Этот последний заключается в том, что мы начинаем с установления некоторого соотношения f(V,E,F)=0, как V-E=0, для многоугольников (для многоугольника число вершин равно числу ребер), и затем, выстраивая (синтезируя) из многоугольников по определенным правилам системы многоугольников и контролируя соотношение f(V, E, F)=0 для каждого этапа такого конструирования, мы затем можем перейти к многогранникам как некоторому частному случаю систем многоугольников, получая некоторое соотношение f(V, E, F)=0 и для этого последнего этапа. В этом случае соотношение f(V, E, F)=0 для многогранника получается не как наивная догадка, результат озарения, но как дедуктивная догадка, полученная в методе синтеза. Но и наивная догадка, считает Лакатос, - это не результат индукции. Она получена на основе выдвижения и опровержения еще более ранних наивных догадок (так что с этой точки зрения существуют, по-видимому, более и менее наивные догадки). Можно двигаться от догадки к догадке без выдвижения доказательств и их анализа. Лакатос призывает минимизировать такого рода участки, по-видимому, слишком произвольные, и поскорее переходить к методу доказательств и опровержений, а затем и к методу синтеза, порождающему дедуктивную догадку. По-видимому, Лакатос также полагает, что метод синтеза обладает большей достоверностью и надежностью, чем методы анализа, хотя и метод синтеза в конечном итоге не может гарантировать от дальнейшей критики контрпримерами. Постепенно Лакатос начинает трактовать метод доказательств и опровержений как наиболее полную методологию, вбирающую в себя отдельные методы – как методы анализа, так и синтеза. В этой тенденции можно отметить стремление описать некоторый наиболее полный инвариант познавательной деятельности, всегда демонстрирующий себя в познании в разнообразии своих сторон как более частных деятельностных регулятивов. Далее будем именно в этом смысле использовать понятие “метод доказательств и опровержений”, выделяя в нем методы анализа и метод синтеза. Метод синтеза может быть продолжен на системы многогранников, приводя к обобщению соотношения f(V,E,F)=0 на разного рода классы многогранников, выходящие за рамки эйлеровых многогранников и включающий в эти более широкие классы наработанные на этапах методов анализа разного рода контрпримеры.

3. Образование понятий. Суммируя описанные выше методы, Лакатос отмечает, что в основе процесса трансформации знания лежит процесс расширения понятий. В аналитических методах критика контрпримерами каждый раз заставляет пересмотреть то или иное понятие - понятие многогранника или его частей, понятия из доказательств (например, «растягивание сетки», «односвязность грани»), и т.д. Здесь можно стать на любую из двух возможных точек зрения: 1) опровергатели считают, что они не расширяют понятия, но понятия изначально даны в расширительном толковании, способном распространяться на контрпримеры, и с их точки зрения устранители монстров сужают понятия. Контрпримеры в этом случае понимаются как логические контрпримеры, т.е. способные опровергнуть то или иное суждение, содержащее соответствующее понятие. 2) наоборот, устранители монстров считают, что это не они сужают понятия, а, наоборот, опровергатели недопустимо расширяют их. В этом случае контрпримеры заставляют только уточнить изначальное понимание понятия, которое не распространяется на контрпример и не может быть опровергнуто им в составе того или иного суждения. В связи с возможностью и, по большому счету, равноправностью этих альтернативных подходов, ни один контрпример не может уже безусловно считаться логическим, выступая скорее как эвристический контрпример, допускающий свою трактовку и как контрпримера, и как исключения. Так находит свое оправдание и метод устранения монстров. Можно принять теперь более общий термин «обогащение понятия», который включает в себя как возможность ограничения, так и расширения понятия. И ограничение, и расширение – это формы обогащения понятия. Обогащаться, по-видимому, могут и уже ранее обогащенные понятия. Так постепенно в результате критики контрпримерами наивная система понятий все более замещается обогащенной системой понятий. Такой рост знания сопровождается, по мнению Лакатоса, постоянной сменой языков. Например, он пишет: «Обычно при появлении контрпримера вы можете выбирать: или вы отказываетесь заниматься им, так как на вашем данном языке L₁ он совсем не контрпример, или вы согласитесь изменить ваш язык при помощи расширения понятия и принять этот контрпример на вашем новом языке L₂»³⁰. И далее: «По мере роста знания меняются языки. «Каждый творческий период является одновременно периодом изменения языка» (ссылка на Felix. L’aspect moderne des mathematiques. Paris. P.10. – В.М.). Рост знания нельзя промоделировать на любом заданном языке… Лингвистика занимается динамикой языка, а логика его статикой»³¹. Т.о. здесь у Лакатоса явно выражена позиция отождествления логики и статики знания. Наконец, метод синтеза предлагает третью альтернативу обогащения понятия – создание нового, более интегрального, понятия, способного объединить в себе и примеры и контрпримеры. В лице ученика “Каппы” формулируется позиция некоторого методологического анархизма, утверждающего ничем не ограниченную возможность расширения любых понятий, в том числе и понятий метаязыка, таких, например, как понятие “контрпример”, “расширение понятий”, и т.д. Такого рода неограниченное обогащение понятий представляется “Каппой” как несовместимое с идеями “доказательство” и “истина”. Здесь Лакатос формулирует своего рода дополнительность точности (достоверности) и осмысленности понятия: “Если вы хотите, - говорит он устами “Каппы”, - чтобы математика имела смысл, то вы должны отказаться от достоверности. Если вы хотите достоверности, избавьтесь от смысла. Вы не можете иметь и то и другое. Тарабарщина безопасна от опровержений, имеющие смысл предложения могут быть опровергнуты расширением понятий”³². Противясь такой позиции, ученик “Гамма” пытается сформулировать ряд методологических правил для некоторого варианта “смягченного расширения” понятий. Здесь предлагаются следующие ограничения на расширение: 1)расширение должно быть “небольшим, чтобы мы не могли его заметить; если бы его действительная – расширяющая – природа была увидена, то оно могло не быть принято как законная критика”³³, 2) расширение должно сосредоточиваться “на одном частном понятии”, не затрагивая до поры остальных понятий, 3) предполагается наличие неопровергаемых составных частей у понятия, например, логическая форма понятия. Однако учитель считает, что математика приняла и более радикальную форму расширения понятий: “Эта революция в математическом критицизме изменила понятие о математической истине, изменила стандарты математического доказательства, изменила характер математического роста”³⁴. Однако совместима ли эта новая система критицизма с понятиями истины, доказательства, и т.д., и, если да, то в какой форме, - все эти вопросы остаются Лакатосом неразрешенными.