§ 3. Синергетика и теория особенностей

Математический аппарат синергетики предполагает описание различных систем – физических, биологических, экономических. Для этого синергетике нужен достаточно универсальный язык. Одно из основных понятий такого языка – понятие «фазовое пространство» или «пространство состояний» системы. В общем случае, при изучении самых различных систем может оказаться, что состояние системы возможно описать некоторым набором параметров, или «степеней свободы». Например, чтобы описать механическую систему из N точек, нужно описать положение каждой точки в пространстве и ее скорость. Положения и скорости – это вектора в трехмерном пространстве, и каждый такой вектор представляет из себя три числа в некоторой системе координат. Следовательно, на каждую точку придется три числа вектора положения и три числа вектора скорости – всего 6 чисел. Для описания N точек потребуется в этом случае 6N чисел. Каждое из этих чисел будет степенью свободы системы в 6N-мерном фазовом пространстве. Чтобы описать систему «хищник-жертва», достаточно две степени свободы – численность популяции хищника и численность популяции жертвы. Итак, первое, что необходимо отметить: синергетика работает с некоторыми абстрактными пространствами, каждая точка которых – это не обязательно положение в пространстве, но общее состояние системы. В качестве координат в таких пространствах выступают некоторые степени свободы, параметры, на основе которых может быть однозначно описано каждое состояние системы. Такое пространство мы далее будем называть «пространством состояний» системы.

Хотя пространства состояний не обязательно являются геометрическими пространствами (например, они могут иметь число измерений более трех), но эти пространства можно пытаться изучать так, словно они являются геометрическими пространствами. Например, обычно та или иная синергетическая система может принимать не все возможные состояния в пространстве состояний, но только лишь некоторую их часть. Это связано с наложением каких-либо ограничений, например, законов или правил, на возможное поведение системы. Обычно такие части пространств, в которых система может принимать свои состояния, называют «поверхностями», по аналогии с геометрическими поверхностями. Система в этом случае принимает свои состояния, находящиеся только на поверхности. Она может быть представлена как точка, движущаяся по поверхности. В этом случае обычно оказывается, что все параметры системы можно разделить на два класса – управляющие и управляемые. Управляющие параметры системы – это такие ее параметры, которые можно менять независимо от остальных параметров, через них можно как бы управлять поведением всей системы в целом, в то время как управляемые параметры оказываются зависимыми от управляющих параметров, меняются вслед за их изменением таким образом, чтобы состояние системы всегда находилось на соответствующей поверхности.

В связи с этим оказалось, что теория поверхностей в абстрактных многомерных пространствах тесно связана с описанием поведения различных систем в синергетике. Первые фундаментальные результаты в этой области были получены американским математиком Хасслером Уитни, который развил так называемую «теорию особенностей». Давайте коснемся вначале понятия «особенности» в этом подходе, а затем свяжем это понятие с идеями синергетики.

Представим себе трехмерное пространство с координатами XYZ, в котором расположена двумерная сфера. Построим проекцию этой сферы на координатную плоскость XY (см. рис.3).

Мы видим, что все точки на плоскости проецирования XY можно разбить на три класса, в зависимости от того, сколько прообразов имеют эти точки на сфере. Точки вне круга имеют 0 прообразов. Точки на границе круга – 1 прообраз (эти прообразы лежат на «экваторе» сферы). Наконец, точки внутри круга имеют по два прообраза – один на нижней, второй – на верхней полусфере. В этом случае особенностью под названием «складка Уитни» будет являться то множество точек на сфере, проекции которых на плоскости проецирования XY разделяют области точек с разным числом прообразов. В данном случае это будет «экватор» сферы. Именно его проекция на плоскость XY образует окружность, разделяющую области с нулевым и двойным числом прообразов на сфере.

Еще одним примером широко распространенной особенности является так называемая «сборка Уитни» (рис.4). В этом случае на поверхности образуется область изогнутой деформации, передне-верхний и задне-нижний край которой как раз образуют особенность, разделяющую множества точек на плоскости проецирования с одним и тремя прообразами (в проекции самой особенности лежат точки с двумя прообразами).

Какое же отношение имеет теория особенностей к синергетике ?

Дело в том, что самое интересное и сложное в поведении синергетической системы – это наличие разного рода скачков, или «катастроф», когда система, при непрерывном изменении управляющих параметров резко и скачком меняет значение управляемых параметров. Оказалось, что такого рода катастрофы удается описывать как процессы пересечения особенностей на поверхности состояний системы. В этом случае управляющие параметры принадлежат плоскости проецирования поверхности, а управляемые параметры испытывают «бифуркацию» (раздвоение или размножение), выбирая из множества прообразов на поверхности один из нескольких прообразов.

Рассмотрим этот процесс на примере так называемой «машины катастроф» немецкого математика Зимана. Это довольно простое устройство (см. рис.5), представляющее из себя плоскую дощечку с закрепленным в ее правой части вращающимся диском. Через гвоздик и край диска натянута резинка с карандашом, который может рисовать на левой части дощечки. Передвигая карандаш, мы будем заставлять вращаться тем или иным образом диск. Таким образом, состояние этой системы описывается положением карандаша и диска. Положение карандаша – это две координаты (x,y) его кончика в левой части доски.

Положение диска можно описать через угол отклонения  от линии, соединяющей гвоздик и центр диска. В целом состояние системы описывается здесь как точка (x,y,) трехмерного пространства состояний системы. Положение карандаша (x,y) представляет из себя систему управляющих параметров, а положение диска  - управляемый параметр. Меняя положение карандаша, мы тем самым меняем положение диска, причем диск в этом случае принимает не какие угодно положения, но какие-то определенные. Следовательно, изменение системы может быть описано в этом случае как движение по некоторой поверхности в трехмерном пространстве состояний системы. Самое интересное в этом случае состоит в том, что если карандаш непрерывно подводить к некоторой кривой в левой части дощечки, то, при пересечении этой кривой, будет происходить резкий скачок («катастрофа») диска из одного положения в другое. Оказалось, что такая кривая, которая назвается «кривой катастроф», представляет из себя проекцию на плоскость сборки Уитни, так что изменение системы в случае машины катастроф может быть представлено как перемещение по поверхности состояний, имеющей особенность в виде сборки Уитни. Хотя сама поверхность геометрически не видна, и представляет из себя поверхность в абстрактном пространстве состояний системы, но проекция особенности этой поверхности может быть наглядно изображена в виде кривой катастроф в левой части дощечки. Невидимое обнаруживает себя в видимом.