§ 4. Сводка основных понятий синергетики

Математика синергетики имеет дело с различными фазовыми пространствами, эволюция динамической системы в которых обычно описывается той или иной системой дифференциальных уравнений. Эволюционный процесс может быть изображен как траектория в фазовом пространстве (фазовая кривая), производная этой кривой представляет из себя фазовую скорость. В этом случае положением равновесия системы называется точка фазового пространства, в котором фазовая скорость равна нулю. Положения равновесия могут быть устойчивыми или неустойчивыми, в зависимости от того, будут ли компенсироваться со временем небольшие отклонения системы от положения равновесия. Графическое представление фазовых траекторий вблизи положений равновесия носит название фазового портрета.

В фазовом пространстве могут существовать такие множества точек, к которым со временем стремятся фазовые траектории. Такие множества точек называются аттракторами. В качестве аттракторов могут выступать устойчивые состояния равновесия или, например, предельные циклы – замкнутые кривые в фазовом пространстве, попав на которые, точка начинает как бы вращаться по этим кривым. Внешне такие вращения выражаются в разного рода колебаниях параметров системы, например, в колебаниях численности популяций хищника и жертвы. Особо выделяются так называемые странные аттракторы. Они представляют из себя множество точек со сложной геометрией, попав в которое, фазовая кривая навсегда остается в этом множестве, но очень сложно ведет себя в нем. Геометрия странных аттракторов является фрактальной. Фракталами называют такие математические структуры, которые обычно обладают свойствами самоподобия и дробной размерности. Классическим примером фрактальной структуры является так называемая кривая Коха (рис.6).

На рисунке изображены последовательные этапы ее построения: мы начинает с равностороннего треугольника, затем на каждой из его сторон достраиваем малые треугольники, на их сторонах – еще меньшие треугольники, и так далее, до бесконечности. Кривой Коха называется то, что получится при оставлении только внешнего контура фигуры (рис. 7).

и в бесконечном пределе такого построения.

Наглядно представить себе такую «кривую» конечно невозможно. Замечательно также и то, что размерность этой кривой больше единицы, но меньше, чем два. Это и не одномерная кривая, и не двумерная поверхность. Это нечто среднее, напоминающее может быть «уплотненную кривую» или «продырявленную поверхность». Кроме того, если мы увеличим под микроскопом любой участок кривой Коха, то он обнаружит тот же «рисунок», что и первоначальный участок – так наглядно в этом примере проявляет себя самоподобие, т.е. подобие частей целому, во фрактальных структурах.

Еще один наглядный пример фрактала – так называемый ковер Серпинского. На рисунке 8 показан один из этапов его построения.

Мы начинаем с квадратного участка плоскости, затем вырезаем в нем центральный квадрат. В получившихся угловых малых квадратных участках также вырезаем центральные малые квадраты, и так повторяем до бесконечности, бесконечно «продырявливая» первоначальный кусок. В пределе получается «бесконечно-дырявая плоскость», которая уже не является плоскостью, но в то же время еще не становится линией. Это и есть ковер Серпинского, названный так в честь польского математика Серпинского, и вновь обладающий промежуточной – между единицей и двумя – размерностью.

Странные аттракторы представляют из себя фрактальные структуры. Попадая в них, фазовая кривая начинает сложно блуждать, со временем бесконечно близко подходя к любой точки фрактала, и в то же время две разные фазовые кривые очень быстро расходятся внутри странного аттрактора, даже если вначале они были близки. Из-за последнего свойства резко затруднены предсказания точного поведения фазовой кривой внутри странного аттрактора – небольшие отклонения от известной траектории здесь могут повести к непредсказуемым особенностям поведения внутри аттрактора. Именно с этим связаны, например, трудности предсказания погоды в современной метеорологии.

Поведение фазовой кривой в странном аттракторе хотя и весьма непредсказуемо, но тем не менее это поведение отличается от просто случайного, например, от броуновского движения молекул. Дело в том, что случайное поведение системы не может быть в точности воспроизведено во второй раз, в то время как поведение фазовой кривой даже внутри странного аттрактора в точности воспроизводимо при тех же начальных условиях. Чтобы выделить поведение системы внутри странного аттрактора и отличать его от просто случайных блужданий, используется такой специальный термин, как детерминированный хаос. Это и есть тип поведения фазовой кривой в странном аттракторе.

Часть фазовой кривой до ее попадания в аттрактор может быть названа нестационарным поведением динамической системы. Внутри аттрактора фазовая кривая выражает стационарное поведение системы.

Часто эволюция динамической системы описывается не просто дифференциальным уравнением, но уравнением, в которое входит некоторый характеристический параметр. Для каждого частного значения такого параметра будет получаться свое дифференциальное уравнение, а значит и своя структура решений этого уравнения. Для множества структур решений, зависящих от параметра, можно ввести понятие режима функционирования динамической системы – как такого множества решений уравнения, которые качественно не отличаются друг от друга. В рамках одного режима функционирования изменение параметра уравнения приводит к непрерывному изменению структуры решения уравнения. Каждому режиму функционирования присуща своя структура решения со своими аттракторами. Переход от одного режима функционирования к другому при непрерывном изменении характеристического параметра называется бифуркацией, что буквально означает «удвоение», так как классическим примером смены режимов стали случаи удвоения положений равновесия. Значение характеристического параметра, при котором происходит бифуркация, называется точкой бифуркации. Здесь наблюдается прямая аналогия с теорией особенностей, как она была описана выше, когда происходит скачкообразное изменение управляемых параметров при непрерывном изменении управляющих параметров системы. Следует только иметь в виду, что выше мы использовали теорию особенностей для описания структуры фазового пространства в рамках одного режима функционирования, в то время как понятие «бифуркация» предполагает как бы «теорию особенностей второго порядка», когда рассматриваются переходы между разными режимами функционирования динамической системы.

При переходе от одного режима функционирования к другому происходит потеря устойчивости старых аттракторов и возникает устойчивость аттракторов нового режима функционирования.

Бифуркации можно разделить на «мягкие» и «жесткие». Мягкие бифуркации характеризуются небольшим отличием режимов функционирования, например, достаточной близостью новых аттракторов по отношению к старым. Жесткие бифуркации, которые после работ французского математика Рене Тома в начале 70-х годов стали называть «катастрофами», характеризуются значительным отличием старого и нового режимов функционирования, например, значительным удалением новых аттракторов от старых в фазовом пространстве системы. В этом случае качественный скачок в изменении поведения системы может быть особенно значительным – «катастрофическим». В работах Рене Тома все катастрофы были сведены к 7 элементарным, которые носят следующие интересные названия: складка, сборка, ласточкин хвост, бабочка, гиперболическая омбилика, эллиптическая и параболическая омбилика.