§ 2. Понятие о структуре

Вернемся к примеру с падением яблока. Для того чтобы вывести как следствие это событие из физических законов, физика создала множество идеализированных структур, которые представляют этот процесс в физической теории. Например, вводится система координат XYZ, которая позволяет описать пространство, где находится яблоко. Само яблоко представляется в виде материальной точки Я(x,y,z) с координатами x, y и z и массой m. Предполагается, что на эту точку действует сила, которая может быть изображена в форме вектора F. Падение описывается как движение точки Я(x,y,z) по некоторой траектории Г в пространстве. Мы встречаемся здесь с множеством новых терминов – «система координат», «материальная точка», «масса», «сила», «вектор», «траектория». Все это – примеры разного рода научных абстракций, которые обычно не существуют в чувственно наблюдаемой реальности и принадлежат некоторой «виртуальной реальности» научного познания. Мы еще вернемся к проблеме научных абстракций, пока же можно заметить, что все такого рода абстракции представляют из себя те или иные составляющие математических структур.

Во второй половине 20 века в Европе под псевдонимом Никола Бурбаки работала инкогнито группа крупных математиков, которая поставила перед собой и практически выполнила задачу создания универсального издания, в котором были бы представлены с единой точки зрения все основные разделы современной математики. В основу своего проекта эта группа положила понятие «структуры». С этой точки зрения математика – это наука о разного рода структурах. Поскольку математический язык – основа современной науки, то понятие «структура» оказывается важнейшим понятием для всего научного познания. Итак, что же такое структура ?

В простейшем случае под математической структурой, или просто структурой, имеется в виду единство трех основных составляющих. Это:

1. Множество элементов структуры.

2. Множество операций (функций), заданных на элементах структуры.

3. Множество свойств и отношений (предикатов), также заданных на элементах структуры.

Составляющую 1 можно называть экстенсионалом структуры (более количественным моментом ее определения), составляющие 2 и 3 – интенсионалом структуры (более качественным моментом ее определения).

Рассмотрим некоторые примеры структур.

Структура на множестве натуральных чисел. Рассмотрим структуру N, в качестве экстенсионала которой выступает множество чисел, используемых для счета, 1, 2, 3, 4, …, и т.д. до бесконечности, которые в математике называются «натуральными числами». В качестве операций здесь можно рассмотреть, например, обычные операции сложения + и умножения  натуральных чисел. Далее, можно рассмотреть такое свойство натуральных чисел, как «быть четным» (Е – от англ. «even», четный); в качестве отношений рассмотреть два отношения – обычные отношение равенства = и отношение «меньше» <.

Отличие операций от свойств и отношений состоит в том, что операции определяются на элементах структуры и дают в результате тоже элементы структуры, например, операция сложения + определяется на двух числах, что записывается в виде +(m,n), означая m+n, и дает в результате новое число – сумму первых двух. Таким образом: +(m,n) = m+n, например, +(3,4) = 3+4 = 7.

Что же касается свойств и отношений, то они только определяются на элементах структуры, а вот результатом их действия являются либо истина (И), либо ложь (Л). Если, например, свойство Е, «быть четным», истинно на 2, то это можно записать в виде: Е(2) = И – свойство «быть четным» истинно для числа 2. Аналогично Е(3) = Л - свойство «быть четным» ложно для числа 3.

Свойства отличаются от отношений тем, что свойства всегда определяются для любого одного элемента структуры, в то время как отношения – для любых n элементов, где n больше единицы. Например, отношение «меньше» для элементов 2 и 3 может быть записано в виде: <(2,3) = И – это значит, что отношение «меньше» истинно для пары чисел 2 и 3, т.е. число 2 меньше числа 3. Как уже отмечалось выше, свойства или отношения называются предикатами.

Иерархическая структура. Например, в биологии или психологии может изучаться группа животных или людей, в которой есть социальная иерархия, т.е. одни индивиды могут подчиняться другим. Например, в стаде овцебыков самцы очень просто устанавливают такого рода иерархию: они регулярно вступают в схватки, и если овцебык А победил в этой схватке овцебыка В, то В подчиняется А в течение времени до новой схватки. Здесь мы также имеем пример структуры. Экстенсионалом этой структуры будет множество индивидов рассматриваемой группы, операций здесь нет, но есть одно отношение – отношение «Х подчиняется У», которое тоже можно обозначить символом <. Если для такого рода отношения выполнено так называемое правило транзитивности, т.е., если Х<Y и Y<Z влечет X<Z, то отношение < называется порядком, а вся структура – иерархической структурой (структурой с порядком). Для овцебыков может возникнуть ситуация, когда указанное правило не будет выполнено: например, бык А может победить быка В, бык В – быка С, но бык А, например по психологическим причинам, не победит быка С. Тогда отношение доминирования в этом случае не будет отношением порядка. Следует отметить, что обычно все же доминирование – это одновременно и порядок.

В общем случае в науке используются самые разные структуры. Чем более развито научное знание, тем богаче его структурное оснащение, тем специализированнее язык, описывающий эти структуры.