§ 27. Это различие между науками математическими и науками эмпирическими, т. Е. Доказывающими свои положения на основе прямого обращения к опыту, порождает различив в видах доказательства.

Доказательства математических наук, не требующие привлечения прямых данных опыта в самом ходе доказательства и опирающиеся на опыт лишь через посредство тех элементов опыта, которые содержатся в основных понятиях, определениях и аксиомах этих наук, называются математическими доказательствами.

Доказательства наук о природе, необходимо требующие привлечения прямых данных опыта в самом ходе доказательства и, таким образом, не ограничивающиеся теми элементами опыта, которые содержатся в их основных понятиях, называются эмпирическими доказательствами.

Из этих определений и объяснений ясно, что различие между этими двумя видами доказательства состоит вовсе не в том, что доказательства математических наук стоят якобы вне опыта, а доказательства эмпирических наук основываются на опыте. Все доказательства всех наук – математических так же, как и эмпирических, – предполагают опыт в качестве необходимой последней основы и проверочной инстанции всех своих истин и положений.

Различие между этими двумя видами доказательства обусловлено только тем, что в одном самым ходом доказательства требуется прямое обращение к данным опыта, в другом для осуществления доказательств достаточно той связи с опытом, которая дана уже в самом содержании понятий, входящих в состав доказательства.

Из сказанного видно, что различие между математическими и эмпирическими доказательствами – не безусловно. Ряд наук о природе, доказывающих свои истины при помощи прямого обращения к опыту, содержат в себе и такие части, в которых доказательства ведутся по методу доказательств математических наук. С другой стороны, и в математических науках математической форме доказательства часто предшествует обоснование, предполагающее прямое обращение к опыту, так что математическая форма доказательства вырабатывается впоследствии, когда доказываемый тезис, т. е. результат доказательства, стал уже известен из опыта. Примером такого перехода от найденного в опыте результата к его математическому и дедуктивному по форме обоснованию может служить уже упомянутая выше история архимедовского определения площади параболы.

Наконец, даже в строго математических по форме доказательствах последние основания, на которые эти доказательства опираются, а именно определения основных понятий науки и аксиомы, возникли в конечном счёте на основе опыта, хотя в том содержании, в каком они мыслятся наукой в настоящее время, они могут вследствие своей крайней отвлечённости казаться ни от какого опыта не зависящими.

Деление доказательств на математические и эмпирические зависит, как было показано, от того, ведётся ли доказательство без прямого обращения к опыту или же в состав доказательства в том или ином объёме входит также и прямое обращение к данным опыта.

§ 28. Доказательства различаются также и по ходу мысли в самом рассуждении. Доказательство, в котором рассуждение идёт от установленных или признанных положений – через ряд следствий, выведенных из этих положений,–к тезису или доказываемому суждению, называется прогрессивным доказательством. Название это показывает, что мысль в ходе рассуждения идёт всё время вперёд – от оснований – через рассуждение – к доказываемому тезису.

Так, например (см. рис. 68), из пифагоровой теоремы (а² + b² = с²) и из определения тригонометрических функций синуса в косинуса (sin α = и cos α = ) может быть посредством прогрессивного доказательства выведена одна из основных формул тригонометрии.

В самом деле, по теореме Пифагора имеем:

Разделим обе части уравнения на с² и получим:

В левой части уравнения каждый её член есть квадрат:

Но так как, согласно определениям, = sin α, и = cos α, то наше уравнение (3) принимает вид:

§ 29. Но ход рассуждения в доказательстве может быть и обратный. В ряде случаев рассуждение исходит не из оснований, а из рассмотрения доказываемого тезиса. Рассмотрение это показывает, что из тезиса (окажись он принятым) необходимо вытекает ряд положений, о которых уже известно, что они истинны, и которые были доказаны другими способами. Доказательство, в котором рассуждение идёт не от оснований к тезису, но наоборот – от рассмотрения тезиса к уяснению необходимой связи этого тезиса с основаниями, называется регрессивным. Название это показывает, что мысль в ходе рассуждения идёт как бы назад: от тезиса к основаниям.

Часто одно и то же положение может быть доказано как прогрессивным, так и регрессивным способом. Та же тригонометрическая формула, которую мы выше вывели посредством прогрессивного доказательства, может быть выведена путём доказательства регрессивного.

Требуется доказать, что sin²α + соs²α = 1.

Рассматривая доказываемый тезис и вспоминая, что по определению sin α = и cos α = , можем выразить тезис в уравнении:

Осуществив требуемое формулой (2) возведение и в квадрат, получаем:

Помножая обе части уравнения (3) на с², имеем: а² + b² = c² (4), т. е. формулу теоремы Пифагора.

В истории разработки науки весьма многие положения были сначала найдены путём регрессивного доказательства. Часто догадка об истине, предвосхищение истины предшествовали той форме доказательства, при которой доказываемый тезис получается как итог длинного ряда выводов, направляющихся от оснований к доказываемому положению. В этих случаях доказательство принимает регрессивную форму. Исследователь, «предчувствуя» истинность тезиса, направляет своё внимание на то, чтобы уяснить необходимую связь, существующую между тезисом и другими истинами, ранее познанными из других оснований.

§ 30. Математические доказательства могут быть различаемы в зависимости от того, доказывается ли тезис прямо или же путем опровержения суждения, противоречащего доказываемому тезису. Доказательство, в котором тезис прямо выводится из других суждений, установленных или принятых в качестве истинных, называется прямым.

Доказательство, в котором для обоснования тезиса опровергается суждение, противоречащее тезису, называется косвенным. Из этого определения видно, что к косвенным доказательствам принадлежит уже известное нам аналогическое доказательство.

Аналогическое доказательство называется также «reductio ad absurdum»*, т. е. «приведением к нелепости». Название это указывает, что выводы из допущения, принятого в начале аналогического доказательства, извлекаются до тех пор, пока не дойдут до вывода, который оказывается нелепым, так как противоречит другим – истинным – посылкам.

* Некоторые логики называют его «deductio ad absurdum».

Нетрудно заметить, что в ходе этого доказательства применяется модус tollens, а также закон исключённого третьего. В самом деле: ложность допущенного положения выводится из ложности следствия, к которому это допущение приводит, т. е. по модусу tollens, а истинность доказываемого тезиса выводится из ложности допущенного положения, которое стоит в отношении противоречащей противоположности к тезису и потому, оказавшись ложным, тем самым доказывает, согласно закону исключённого третьего, истинность тезиса.

В математике аналогические доказательства называются «доказательствами от противного». Название это, с точки зрения логической терминологии, не совсем точно, так как в доказательствах этих опровергается не противное по отношению к доказываемому тезису, но именно противоречащее допущение.