Доказательства по существу

§ 8. Доказательства по существу представляют, как мы уже знаем, исследование содержания оснований и логической связи между основаниями и тезисом. В этих доказательствах решается вопрос: имеется ли необходимая логическая связь между содержанием данных оснований и содержанием тезиса, который из них выводится.

Доказательства по существу делятся на четыре главные группы: 1) доказательства, в которых все случаи доказываемого тезиса исчерпываются при помощи полной индукции; 2) разделительные доказательства, в которых последовательно исключаются все предположения, кроме одного, а именно кроме доказываемого тезиса; 3) опровергающие доказательства, или опровержения, в которых от истинности известного суждения заключают в ложности другого суждения, несовместимого с первым; 4) обусловливающие доказательства, в которых от наличия всех необходимых условий истинности (или ложности) суждения заключают к его действительной истинности (или ложности).

§ 9. Доказательства, исчерпывающие все возможные случаи доказываемого тезиса. В этих доказательствах рассматривается прежде всего доказываемый тезис. Рассмотрение это имеет целью полностью исчерпать все возможные случаи доказываемого тезиса. Далее доказывается, что тезис истинен для каждого из этих случаев в отдельности. Отсюда, по методу полной индукции, делается заключение, что тезис истинен вообще, т. е. безотносительно к тому или иному частному случаю.

Этот вид доказательства по существу часто применяется в математике, особенно в геометрии. Посредством этой формы доказательства обосновывается, например, теорема, по которой ни одно коническое сечение не пересекается прямой более чем в двух точках.

§ 10. Разделительные доказательства. В разделительных доказательствах истинность доказываемого тезиса удостоверяется посредством исключения всех гипотез разделительного умозаключения, кроме одной единственной, которой является доказываемый тезис. Так как истинной должна быть непременно одна из гипотез, в своей сумме исчерпывающих возможное деление, и так как все они, кроме гипотезы, совпадающей с доказываемым тезисом, оказались опровергнутыми, то тезис как единственная гипотеза, оставшаяся не опровергнутой, необходимо будет истинным.

Если, например, установлено, что некоторое преступление могли совершить только лица А, В, С и D, и если, кроме того, установлено, что ни В, ни С, ни D не совершили его, то отсюда следует, что заключение, признающее виновником преступления А, истинно.

При этом, однако, как это постоянно бывает в случае оправдания доказываемого тезиса, доказываемое положение ограничивается одним тезисом, характеристика же самого тезис а в качестве истинного обычно опускается.

Особенность этой формы доказательства – в том, что истинность доказываемого тезиса удостоверяется не прямо, а косвенным образом. И действительно, оправдание доказываемого тезиса достигается в этом случае не посредством прямого исследования или обоснования этого тезиса, но лишь косвенно – путём опровержения всех возможных предположений, кроме того, которое совпадает с тезисом.

§ 11. Опровергающие доказательства. Доказательства этой формы имеют задачей не оправдание тезиса, а его опровержение. Достигается опровержение посредством сопоставления тезиса с другим суждением, стоящим к тезису в отношении логической несовместимости. Основанием для заключения о ложности тезиса является удостоверение в том, что несовместимое с тезисом суждение истинно.

Так, ложность мнения старых зоологов, полагавших, будто ни одно млекопитающее не принадлежит к яйцекладущим, была доказана, как только было установлено, что некоторые млекопитающие, например утконосы, относятся к яйцекладущим. Доказательство в этом случае было опровергающим. Оно сводилось к сопоставлению опровергаемого тезиса с противоречащим ему, т. е. с несовместимым с ним суждением.

Опровергающие доказательства имеют огромное распространение в практической жизни в в науке. Доказательство невиновности обвиняемого в непосредственном совершении приписываемого ему преступления достигается посредством опровержения предположения, будто обвиняемый мог совершить его. Установив, например, alibi обвиняемого, т. е. отсутствие обвиняемого в момент, когда было совершено преступление, в том месте, где оно было совершено, суд тем самым удостоверяет истинность положения, логически несовместимого с предположением о виновности обвиняемого в непосредственном совершении преступления. Тем самым опровергается предположение, будто обвинённый в преступлении действительно есть непосредственный исполнитель преступления.

§ 12. Обусловливающие доказательства. В этих доказательствах исследование начинается с установления всех необходимых условий истинности тезиса. Далее удостоверяется, что все условия эти имеются налицо. Отсюда заключают к истинности тезиса.

Пример обусловливающего доказательства был уже рассмотрен при объяснении отличия доказательства от простого умозаключения. Другой пример обусловливающего доказательства: требуется доказать тезис, что некоторые членистоногие не являются насекомыми. Самый тезис этот может быть выведен из следующего умозаключения: «Все пауки – членистоногие, ни один паук не есть насекомое, следовательно, некоторые членистоногие – не насекомые». Но наша задача – не в том только, чтобы усмотреть необходимую логическую связь между найденными посылками и тезисом. Наша задача – в том, чтобы доказать, что тезис «некоторые членистоногие – не насекомые» истинен.

Для удостоверения его истинности развиваем следующее обусловливающее доказательство: «Если посылки «все пауки – членистоногие» и «ни один паук – не насекомое» истинны и если умозаключение правильно, то положение «некоторые членистоногие – не насекомые» истинно». Но обе посылки действительно истинны, также правильно и умозаключение. Поэтому тезис «некоторые членистоногие – не насекомые» истинен.

§ 13. Как видно из обоих примеров, обусловливающее доказательство есть умозаключение об умозаключении. В обоих случаях сначала было найдено умозаключение, обосновывающее тезис. Затем было найдено умозаключение, доказывающее, что тезис этот истинен.

То умозаключение, посредством которого устанавливается логическая связь между основаниями и тезисом, называется основным умозаключением обусловливающего доказательства. В нашем последнем примере основным умозаключением является первое умозаключение: «Все пауки – членистоногие, ни один паук – не насекомое, следовательно, некоторые членистоногие – не насекомые».

То умозаключение, посредством которого удостоверяется истинность тезиса, как вытекающая из наличия всех условий его истинности, называется условным умозаключением.

Далеко не всегда обусловливающее доказательство заключает в своем составе оба эти умозаключения: основное и условное. Обычно условное умозаключение не выражается в тексте самого доказательства и лишь подразумевается. Полностью формулируется только основное умозаключение. Но так как в основном умозаключении раскрывается только необходимая логическая связь между основаниями и тезисом, истинность же тезиса удостоверяется только условным умозаключением, то ото последнее есть главная составная часть обусловливающего доказательства.

На примере обусловливающего доказательства лучше, чем на примере какой бы то ни было другой формы доказательства, видно различие между доказательством в специальном смысле понятия и простым умозаключением.

§ 14. Так как обусловливающее доказательство состоит из двух умозаключений и так как одно из них, а именно условное, обычно лишь подразумевается, то в случае обусловливающего доказательства часто бывает трудно определить, какие суждения являются основаниями доказательства. И действительно, так как в обусловливающем доказательстве обычно полностью выражается лишь основное умозаключение, то легко возникает представление, будто его посылки и составляют основания всего доказательства. Но так как характеристика тезиса как истинного (или ложного) содержится только в условном умозаключении (независимо от того, высказано оно или только подразумевается), то, строго говоря, основаниями обусловливающего доказательства являются посылки условного умозаключения: посылка, указывающая необходимые условия истинности тезиса, и посылка, удостоверяющая, что в данном случае все условия эти имеются налицо.

§ 15. Наиболее распространённая разновидность обусловливающего доказательства есть доказательство, в котором, удостоверившись в истинности (или ложности) посылок основного умозаключения и в правильности логической связи, заключают отсюда к истинности (или ложности) тезиса.

Пусть, например, требуется доказать, что ни один папоротник не размножается семенами. Строим умозаключение: «ни одно споровое не размножается семенами, все папоротники – споровые, следовательно, ни один папоротник не размножается семенами». Рассмотрим посылки и логическую связь между ними. Так как это рассмотрение обнаруживает, что обе посылки истинны и что логическая связь между ними правильная, то мы вправе вывести, что основное умозаключение истинно. Из истинности же основного умозаключения следует, что вытекающее из него суждение «ни один папоротник не размножается семенами» истинно. Но это суждение и есть доказываемый тезис.

§ 16. Второй распространённой разновидностью обусловливающего доказательства является доказательство, в котором, удостоверившись в ложности некоторого суждения, заключают отсюда к ложности основного умозаключения, из которого это суждение следует.

Но ложность умозаключения может быть обусловлена: 1) или ложностью посылок, 2) или неправильностью логической связи между посылками, 3) или соединением ложности посылок с ошибочностью, устанавливаемой между ними логической связи.

Поэтому, установив – на основании ложности тезиса – ложность обосновывающего этот тезис умозаключения, мы ещё не знаем, каким именно из указанных трёх условий вызывается в каждом данном случае ошибочность умозаключения. Для решения этого вопроса должны быть исследованы, во-первых, все посылки основного умозаключения, во-вторых, логическая связь между ними.

При этом исследовании возможны два случая. Первый из них – когда исследованием устанавливается, что логическая связь между посылками основного умозаключения правильная и что все посылки, за исключением одной единственной, которая не рассматривается, истинны. Результатом исследования в этом случае будет разделительное умозаключение: «Ошибочными могли быть или самые посылки, или логическая связь между ними. Но так как ни логическая связь между посылками, ни посылки – кроме одной, нами не рассмотренной, – не ошибочны, то ошибочна та единственная посылка, которая осталась не рассмотренной».

§ 17. Примером этого случая являются доказательства, называемые аналогическими, или «приведением к нелепости» (reductio ad absurdum). Если бы, рассматривая данное суждение, мы могли сразу противопоставить ему другое суждение, логически несовместимое с первым и в то же время заведома истинное, то мы тем самым опровергли бы данное суждение. Это был бы обыкновенный случай так называемого «опровергающего» (см. выше § 11), а не обусловливающего доказательства.

Но если мы не можем сразу найти такое суждение, которое, будучи несовместимым с данным, было бы в то же время заведомо истинным, то опровержение тезиса принимает ту форму обусловливающего доказательства, о которой шла речь выше. А именно: строится умозаключение, в котором тезис, т. е. опровергаемое суждение, является одной из посылок. Все остальные посылки умозаключения подбираются истинные, логическая связь между ними устанавливается правильная. Получив – по правилам вывода – заключение, находят затем другое суждение с таким расчётом, чтобы оно было логически несовместимым с нашим заключением и в то же время чтобы оно было истинным. Найдя такое суждение, тем самым опровергают заключение. В свою очередь опровержение заключения обнаруживает ошибочность умозаключения, из которого заключение было выведено. Но в чём может состоять в этом случае ошибочность умозаключения? Так как логическая связь в нём правильная и так как все посылки, кроме той, которая является тезисом доказательства, истинны, то ложным должен быть только тезис.

Пример аналогического доказательства. В геометрии доказывается теорема (см. рис. 67), согласно которой при условии если два равных угла АОВ и COD имеют общую вершину О и две стороны ОВ и ОС на одной прямой линии, то и две другие стороны ОА и OD составляют одну прямую линию, и потому углы АОВ и COD – вертикальные. Доказывается теорема следующим образом. Положим, что AOD – не прямая, а ломаная линия. Положим, далее, что ОЕ есть продолжение стороны АО. Тогда углы АОВ и СОЕ как углы, составленные пересечением двух прямых линий, будут углы вертикальные и, следовательно, равные между собой. Но по положению DOC равен АОВ. Две величины, равные порознь третьей, равны между собой. Поэтому ЕОС должен равняться COD (так как ЕОС и COD равны порознь каждый АОВ).

Но ЕОС, очевидно, не может равняться COD, так как СОЕ есть только часть COD. Итак, предположение, будто AOD не есть прямая линия, как предположение, приводящее к нелепому заключению, будто часть равна своему целому, ложно. Но если ложно, что AOD не есть прямая линия, то должно быть истинным, что AOD – прямая и что углы АОВ и COD – вертикальные.

Присматриваясь к ходу этого рассуждения, мы видим, что оно вполне подходит под схему рассматриваемой разновидности обусловливающего доказательства. Задачей рассуждения было доказательство теоремы посредством опровержения противоречащего ей тезиса. Опровергаемый тезис был сделан одной из посылок умозаключения. Все остальные посылки, кроме тезиса, оказались истинными. Само умозаключение также оказалось правильным. Полученное из этого вывода заключение (равенство ЕОС COD), сопоставленное с аксиомой о том, что целое больше своей части, оказалось несовместимым с нею.

Рис. 67

Тем самым было удостоверено, что заключение, будто EOC равен COD, ложно. Но ложность заключения означает ложность того умозаключения, из которого это заключение добыто. В свою очередь исследование ложности умозаключения приводит к следующему разделительному силлогизму: «Источником ошибки в нашем умозаключении могла быть либо ложность посылок, либо ошибочность логической связи между ними. Но в данном случае логическая связь была правильная, все посылки, кроме той, которая является опровергаемым тезисом, – тоже правильные. Стало быть, ложен опровергаемый тезис.

§ 18. Логическая схема рассмотренной разновидности обусловливающего доказательства сама по себе совершенно проста и ясна. Однако при её осуществлении на практике часто приходится преодолевать значительные трудности.

Трудности эти возникают обычно в той части доказательства, где заключению, выведенному из основного умозаключения, необходимо противопоставить другое – несовместимое с ним и в то же время заведомо истинное суждение.

И действительно, для успешного решения этой задачи требуется, чтобы заключение, добываемое из основного умозаключения, непременно было ложным, а противопоставляемое ему и несовместимое с ним суждение было непременно истинным.

Что касается ложности заключения, то, вообще говоря, как заключение вывода, в составе которого имеется ложная посылка (опровергаемый тезис), заключение это должно быть ложным. Однако иногда при ложной большей посылке заключение силлогизма может случайно оказаться истинным. Например, из посылок «все студенты изучают французский язык» и «Николаев – студент» получается заключение «Николаев изучает французский язык». Может случиться, что, несмотря на ложность большей посылки, утверждающей, будто все студенты изучают французский язык, Николаев случайно окажется принадлежащим к той части студентов, которые, не исчерпывая собой всех студентов, действительно изучают французский язык. В этом случае ложность одной из посылок не препятствует истинности тезиса. Объясняется это не тем, что истинность эта логически следует из ложности посылки, а тем, что она не зависит от количества большей посылки: чтобы студент Николаев окапался принадлежащим к изучающим французский язык, нет необходимости в том, чтобы все студенты изучали этот язык. Для этого достаточно, чтобы хотя бы часть студентов изучала этот язык и чтобы Николаев оказался принадлежащим именно к этой части.

Зная, что при известных условиях наличие в числе посылок одной ложной может сочетаться с истинностью заключения, мы должны считаться с этой возможностью при разработке аналогических доказательств. Так как в этих доказательствах заключение основного умозаключения необходимо должно оказаться ложным, то посылки этого умозаключения должны подбираться с таким расчётом, чтобы сочетание ложного тезиса, составляющего одну из посылок умозаключения, с другими истинными его посылками дало в заключении непременно ложное суждение.

Напротив, суждение, противопоставляемое заключению, как несовместимое с ним, обязательно должно быть истинным. Однако далеко не всегда истинность суждения, противопоставляемого заключению и несовместимого с ним, оказывается непререкаемой для тех, к кому обращается доказательство. Во многих отраслях знания суждение, истинное в глазах одних, представляется ложным или по крайней мере сомнительным для других. Но если суждение, противопоставляемое несовместимому с ним тезису, представляется ложным, то самый тезис уже не будет оцениваться в качестве ложного, и, таким образом, опровержение тезиса, составляющее центр всего доказательства, окажется не достигнутым.

§ 19. Мы рассмотрели первый случай исследования ошибочности основного умозаключения. В этом случае исследованием устанавливается, что логическая связь между посылками и заключением правильная и что все посылки истинны, кроме той, которая и есть опровергаемый тезис.

Второй случай исследования основного умозаключения имеет место, когда исследованием устанавливается, что ошибочны не посылки, но логическая связь между посылками и заключением.

Для удостоверения в ошибочности логической связи исследуемое основное умозаключение сопоставляется с другим умозаключением. Это последнее подбирается с таким расчётом, чтобы все без исключения посылки в нём были истинны, чтобы логическая связь между посылками и заключением была ошибочная и чтобы заключение было явно ложным.

Выполнение всех этих условий даёт право на следующий вывод. Умозаключение, с которым мы сопоставляем основное умозаключение нашего доказательства, имеет ложное заключение. Поэтому оно ошибочно. Ошибочность его может быть обусловлена или ошибочностью посылок, или ошибочностью логической связи. Так как все посылки в нем, несомненно, истинны, то ошибочной в нём может быть только логическая связь. Но наше основное умозаключение имеет такое же строение, как и то умозаключение, с которым оно сравнивается. Так как заключения в этих умозаключениях ложны, а все посылки истинны, то и в основном умозаключении ошибочна только логическая связь.

Например, требуется последовать ошибку в умозаключении; «Все великие художники были впечатлительны, Н – впечатлителен, следовательно, Н – великий художник». Если ошибочность логической связи в этом умозаключении не бросается в глаза и не поддаётся – вследствие недостатка у исследующего логических познаний–точному логическому определению, то она может быть обнаружена следующим образом.

Сопоставляют исследуемое умозаключение с другим, имеющим такое же строение, такое же ложное заключение, но содержащим только истинные посылки: «У всех великих художников – две руки и две ноги, у Н – две руки и две ноги, стало быть, Н – великий художник». Так как оба умозаключения имеют совершенно одинаковое строение, так как все посылки в них истинны, а заключения ложны, то ошибочна в обоих только логическая связь между посылками в заключением.