Непротиворечивость

- свойство предложений некоторой теории (в случае аксиоматической теории — системы ее аксиом), заключающееся в невыводимости из них противоречия. Если отри­цание какого-то предложения может быть доказано в теории, то о самом предложении говорится, что оно опровержимо в ней. Не­противоречивость теории означает, что никакое предложение не может быть в ней и доказано, и вместе с тем опровергнуто.

Требование Н. является обязательным требованием к научной и, в частности, логической теории. Противоречивая теория завело-

[220]

мо несовершенна: наряду с истинными положениями она вклю­чает также ложные, в ней что-то одновременно и доказывается, и опровергается.

Во многих теориях имеет место закон Дунса Скота. В этих усло­виях доказуемость противоречия означает, что становится «дока­зуемым» все что угодно и понятие доказательства теряет смысл. Применительно к таким теориям требование Н. равносильно ус­ловию, что в теории имеется хотя бы одно недоказуемое выска­зывание. Н. одной теории может быть доказана через другую тео­рию, Н. которой гарантирована. Однако такое доказательство об­ладает лишь относительной убедительностью. Для простых теорий, таких, как исчисление высказываний, доказательство Н. не пред­ставляет труда. В более сложных теориях оно обычно сводится к интерпретации в терминах теории множеств. Для сложных тео­рий, напр. арифметики и самой теории множеств, отыскание под­ходящей теории, которая сама была бы непротиворечивой и вме­сте с тем могла бы использоваться для доказательства их Н., пред­ставляется задачей скорее всего безнадежной. Это указывает на нетривиальность проблемы Н., ее трудность и глубину.

В реальных, достаточно сложных научных теориях, в том числе в теориях самой логики, могут встречаться противоречия. В связи с этим в последние десятилетия большое внимание привлекают логические системы, в которых из противоречия невыводимо про­извольное высказывание. Обнаружение противоречия в опира­ющейся на такую систему теории не означает, что в ней становит­ся доказуемым все что угодно (см.: Паранепротиворечивая логика).