§ 3. Логические теории, описывающие структуры

Обычно структуры требуют более-менее специальный язык для своего описания. Дело в том, что составляющие структур – это разного рода новые абстракции, для которых либо не было вообще названий в обычном языке, либо эти названия употреблялись несколько иначе. Когда математики или ученые других наук создают новые структуры для описания оснований выбора, то они обычно придумывают новые или по-особому используют старые слова. Например, слово «вектор» или «электрон» было создано заново с открытием соответствующей структуры или объекта, а вот слова «энергия» или «сила», хотя уже и существовали в обычном языке, но использовались не так, как это стали делать физики. Кроме того, наука предъявляет более высокие требования к процедурам вывода следствий из оснований выбора, в связи с чем наука активно использует логику. В связи с этим, языки науки – это обычно более логически обработанные языки, чем обычные языки.

Если используется язык для описания некоторой структуры, то в этом языке, во-первых, должны быть имена для основных составляющих структуры: 1) для элементов структуры, 2) для операций и 3) предикатов структуры. Например, выше мы использовали символ «<» для обозначения отношения «меньше», символы 1, 2, 3 – для обозначения чисел один, два, три, символ «+» - для обозначения операции сложения.

На языке, описывающем ту или иную структуру, формулируется логика этой структуры. Так возникает логическая теория, в рамках которой описываются логические свойства некоторой структуры. Например, для описания свойств структуры N на множестве натуральных чисел используется Теория Арифметики как логическая теория этой структуры. Логическая теория обычно содержит разного рода аксиомы и правила логического вывода, позволяющие из аксиом выводить теоремы. Например, в Теории Арифметики в качестве аксиом могут приниматься следующие выражения: m+n = n+m, m(n+p) = mn + mp, и т.д. В логической теории, описывающей иерархическую структуру, в качестве аксиомы может приниматься свойство транзитивности: если x<y и y<z, то x<z. Более подробно мы обратимся к структуре логической теории позднее.

В общем случае научное знание может быть более или менее формальным, в зависимости от того, насколько специализирован язык той логической теории, которая используется в этой науке. Если этот язык практически не выделен из обычного (например, разговорного русского) языка, то говорят о содержательной теории. Если же язык высокоспециализирован и использует множество новых символов, которых нет в обычном языке, насыщен логическими процедурами, то говорят о формализованной научной теории. С другой стороны, научные языки могут отличаться не только степенью формальности, но и степенью логической обработки. Тогда, если язык сильно логически обработан, так что в нем явно выделены аксиомы, правила логического вывода и теоремы, то научная теория с таким языком называется аксиоматической теорией. Характеристики содержательности-формальности и степени аксиоматичности научных теорий могут быть до некоторой степени относительно независимыми друг от друга, в связи с чем здесь могут встречаться все возможные комбинации: 1) формальные аксиоматические теории – это, например, теории математики и физики, 2) формальные неаксиоматические теории. Например, это разного рода теории систематики в биологии или психологии, в которых используется специальная терминология для обозначения разных видов организмов (или психологических типов), но только этим дело преимущественно и ограничивается. 3) содержательные аксиоматические теории – хотя в этих теориях используется обычный язык, но логически эта теория может быть обработана больше, чем обыденное знание. Например, часто в форме такого рода теорий выступают те или иные разделы философского или гуманитарного знания. 4) содержательные неаксиоматические теории – это, как правило, самые первые этапы развития научного знания, когда в них научность выражается еще только в первоначальном накоплении фактов.

Но все же необходимо отметить, что такого рода независимость возможна только до некоторой степени. Начиная с определенного уровня, уже нельзя достичь достаточно высокого уровня аксиоматизации научного знания без достаточной формализации, и наоборот.