Первая фигура и её особые правила

§ 28. Первая фигура простого категорического силлогизма применяется при решении вопроса о подчинении одного понятия другому. В силлогизмах первой фигуры из заключения мы узнаём, что понятие S или подчинено, или не подчинено понятию Р. В свою очередь подчинение (или неподчинение) понятия S понятию Р может быть или полным, или частичным. В случае полного подчинения понятия S понятию Р вывод получится общеутвердительный (А), в случае частичного – частноутвердительный (I). В случае полного отсутствия отношения подчинения понятия S понятию Р вывод получится общеотрицательный (Е), в случае частичного отсутствия отношения подчинения вывод получится частноотрицательный (О) (см. рис. 59).

На рисунке представлены четыре возможных отношения между объёмами понятий S и Р, которые могут быть выяснены посредством силлогизмов первой фигуры. Во всех этих четырёх случаях изображены отношения между объёмами понятия S и Р. Но эти отношения между объёмами представляют лишь прямой результат отношений между содержанием понятия S и содержанием понятия Р.

Чтобы понятие S могло быть подчинено понятию Р, иными словами, чтобы объём S мог входить как часть в объём Р, необходимо, чтобы содержание понятия Р составляло часть содержания понятия S. Только зная, что все существенные признаки понятия Р входят в число существенных признаков понятия S, мы можем утверждать, что объём S есть часть объёма Р.

Зная из меньшей посылки (S–М) о принадлежности предмета S к известному классу М и зная из большей посылки (М–Р) о принадлежности всем предметам этого класса известного свойства Р, мы можем заключить в выводе первой, фигуры о принадлежности свойства Р предмету S. Так, зная, что все бамбуки – злаки (меньшая посылка) и что все злаки обладают свойством цвести колосками (большая посылка), мы, делая вывод по первой фигуре, узнаем, что бамбуки также обладают свойством цвести колосками.

Особенно важной чертой первой фигуры является способ, посредством которого в ней устанавливается вывод. Как во всяком силлогизме, в силлогизме первой фигуры отношение субъекта вывода к его предикату прямо не видно. Отношение это устанавливается через отношения субъекта и предиката вывода к некоторому третьему понятию.

Но эти отношения оказываются здесь отношениями подчинения: подчинение понятия М понятию Р устанавливается большей посылкой, подчинение понятия S понятию М – меньшей посылкой. В результате понятие S не только оказывается подчинённым понятию Р, но всё движение мысли в силлогизме первой фигуры оказывается движением от наиболее общего к наименее общему. Так, зная, что все амфибии – позвоночные и что все лягушки – амфибии, мы заключаем по первой фигуре, что все лягушки – позвоночные. Мы начали с рассмотрения наиболее общего класса – позвоночных, нашли в нём в качестве части его объёма класс амфибий и, наконец, рассмотрев класс амфибий, нашли в нём в качестве части его объёма класс лягушек. Иными словами, мы нашли, что все существенные признаки класса позвоночных, принадлежащие классу амфибий, должны принадлежать также и классу лягушек (см. рис. 60).

Этой особенностью первой фигуры определяется область её применения. Первая фигура простого категорического силлогизма используется во всех операциях мышления, где известное общее правило или закон могут быть применены к частным случаям.

Рис. 60

В свою очередь этим применением первой фигуры определяются её особые правила.

§ 29. Первое из этих правил состоит в том, что меньшая посылка должна быть суждением утвердительным. Правило это необходимо, так как из меньшей посылки мы узнаём, что предмет (субъект вывода) принадлежит к тому самому классу, общее свойство которого раскрывается в большей посылке. Правило это выводится из общих основных правил силлогизма. И действительно, если бы меньшая посылка в первой фигуре была отрицательная, то вывод, согласно шестому общему правилу, также был бы отрицательным. Это значило бы, что больший термин как сказуемое отрицательного суждения был бы распределён. Но, будучи распределённым в выводе, больший термин должен был бы быть распределён и в большей посылке. Однако в нашем случае это невозможно. И действительно, так как мы предположили, что меньшая посылка – отрицательная, и так как при отрицательности меньшей посылки большая посылка должна быть утвердительной, то больший термин как предикат утвердительного суждения, выражающего подчинение S и Р, не может быть распределён. Итак, при отрицательной меньшей посылке вывод по первой фигуре невозможен.

§ 30. Второе специальное правило первой фигуры состоит в том, что бо;´льшая посылка должна быть суждением общим. И действительно, если бы большая посылка в первой фигуре была частная, то средний термин как субъект частного суждения не был бы распределён в большей посылке. Но в то же время он не был бы распределён и в меньшей посылке. В самом деле, меньшая посылка первой фигуры, согласно только что доказанному особому правилу первой фигуры, должна быть непременно утвердительной. А так как средний термин является в ней предикатом, то как предикат утвердительного суждения, выражающего отношение подчинения S и Р, он не будет распределён. Таким образом, если бы большая посылка первой фигуры была частной, то это значило бы, что средний термин оказался бы не распределённым ни в одной из посылок. Но это невозможно. Поэтому большая посылка должна быть общей.

Правило это необходимо, так как в случае его нарушения большая посылка не могла бы выражать тот общий закон, в применении которого состоят выводы первой фигуры.

§ 31. Теперь легко установить, какие модусы способны дать правильный вывод по первой фигуре. Для этого исключим из числа всех арифметически возможных модусов, во-первых, те, по которым вывод невозможен в силу правил, общих для всех фигур, и, во-вторых, те, по которым вывод невозможен в силу особых правил первой фигуры. После этого исключения, очевидно, останутся только правильные модусы первой фигуры.

Так как в силлогизме две посылки и так как каждая из них теоретически может иметь любое качество и количество, т. е. может быть общеутвердительной, частноутвердительной, общеотрицательной и частноотрицательной, то, очевидно, в первой фигуре (так же, как и во второй и третьей) арифметически возможны шестнадцать модусов:

АА ЕА IA ОА

АЕ ЕЕ IE. ОЕ

AI EI II ОI

АО ЕО IО ОО

Исключим все модусы, в которых качество и количество посылок таковы, что, согласно общим для всех фигур и особым для первой в отдельности правилам, вывод невозможен. Во-первых, отпадут все модусы, в которых обе посылки отрицательные: ЕЕ, ЕО, ОЕ, OO. Во-вторых, отпадут все модусы, в которых обе посылки частные: II, IO, OI, OO. В-третьих, отпадут, согласно особым правилам первой фигуры, все модусы, в которых большая посылка частная: IA, IE, ОА. В-четвёртых, отпадут, согласно особым правилам первой фигуры, все модусы, в которых меньшая посылка отрицательная: АЕ, АО.

В результате останутся всего четыре модуса первой фигуры: АА, ЕА, AI, EI, в которых количество и качество посылок не противоречат ни общим, ни специальным для первой фигуры правилам силлогизма.

В модусе АА меньшая посылка устанавливает принадлежность всего класса S к классу М, а бо;´льшая – принадлежность всего класса М к классу Р. Это отношение терминов даёт основание утверждать в выводе принадлежность всего класса S к классу Р. Таким образом, по модусу АА вывод получается общеутвердительный (А), и всё строение модуса может быть обозначено ААА.

Пример: «Все амфибии – позвоночные, все лягушки – амфибии, следовательно, все лягушки – позвоночные».

В модусе ЕА меньшая посылка устанавливает принадлежность всего класса S к классу М, а большая ставит весь объём класса Р вне всего объёма класса М. Это отношение терминов даёт основание исключить в выводе весь класс S из всего класса Р. Таким образом, по модусу ЕА вывод получается общеотрицательный (Е), и всё строение модуса может быть обозначено ЕАЕ.

Пример: «Ни одна планета не есть звезда, все астероиды суть планеты, следовательно, ни один астероид не есть звезда».

В модусе AI меньшая посылка устанавливает принадлежность некоторых S к классу М, а большая – принадлежность всего класса М к классу Р. Это отношение между терминами даёт основание лишь для частноутвердительного вывода (I), так как меньший термин, не распределённый в посылке, не может оказаться распределенным в выводе. Всё строение этого модуса может быть обозначено АII.

Пример: «Все рыбы – позвоночные животные, некоторые водные животные – рыбы, следовательно, некоторые водные животные – позвоночные животные».

В модусе EI меньшая посылка устанавливает принадлежность некоторых S к классу М, а большая ставит весь класс Р вне всего класса М. На основании этого отношения терминов в выводе силлогизма из всего класса Р исключаются те самые «некоторые», принадлежность которых к М установлена меньшей посылкой. Иными словами, вывод получается частноотрицательный (О), и всё строение модуса может быть обозначено ЕIO.

Пример: «Ни один гриб не размножается семенами, некоторые растения–грибы, следовательно, некоторые растения не размножаются семенами».

§ 32. Итак, все четыре модуса первой фигуры, оставшиеся после исключения невозможных модусов, дают правильные выводы. Сравнивая качество и количество правильных выводов первой фигуры, замечаем, что по первой фигуре возможны выводы всех видов качества и количества: общеутвердительные (модус ААА), общеотрицательные (модус ЕАЕ), частноутвердительные (модус АII) и частноотрицательные (модус ЕIO). Этой способностью давать выводы любого качества и количества первая фигура отличается от всех остальных.

Ещё важнее способность первой фигуры обосновывать общеутвердительный вывод (модус ААА). Как увидим далее, ни один модус никакой другой фигуры не дает общеутвердительного вывода. Значение модуса ААА первой фигуры чрезвычайно велико. При помощи этого модуса к целому классу или разряду предметов может быть применён общий закон, выражающий положительное свойство более широкого класса предметов. Так, законы небесной механики, открытые Ньютоном и сформулированные в общем виде, могут применяться и применяются при изучении движений не только планет, но и орбитальных двойных звёзд^*.

* Орбитальными двойными звёздами называются звёзды, физически связанные между собой и вращающиеся вокруг общего для обеих центра тяжести.

Особенно широко применение первой фигуры (именно, модуса ААА) в математических доказательствах и при решении математических задач. Так называемые прямые доказательства теорем, представляющих утвердительные суждения, ведутся в подавляющем большинстве случаев по этому модусу.

Рассмотрим как пример применения силлогизмов решение простой геометрической задачи.

В равнобедренном треугольнике АВС известны основание ВС = а и высота AD=h. Чему будет равна сторона АС? Начертим равнобедренный треугольник АВС (см. рис. 61), обозначим в нём известные нам элементы буквами h и а. Обозначим неизвестную нам сторону АС посредством буквы х. Из геометрии известно, что во всяком равнобедренном треугольнике высота его делит основание пополам. Треугольник АВС – равнобедренный. Следовательно, в нём высота AD, опущенная из вершины острого угла А, делит основание а пополам. Следовательно, DC = . Рассмотрим теперь треугольник ADC. В нём сторона AD по условию задачи известна и равняется h, сторона DC только что определена и равняется , а угол АDС – прямой, так как сторона AD есть высота треугольника АВС. Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов. Поэтому в прямоугольном треугольнике ADC, в котором гипотенуза АС = х, а катеты AD = h и DC = , х² = h² + ()² . Решая квадратное уравнение, получаем: x² = .

Рис. 61

Рассмотрим те части нашего рассуждения, которые выделены курсивом. В каждой из них речь идёт о другом предмете, но самый ход мысли – одинаковый. В первой выделенной курсивом части рассуждения доказывается, что в данном треугольнике АВС высота делит основание пополам, во второй доказывается, что искомая сторона АС может быть найдена как гипотенуза прямоугольного треугольника ADC. Но и в первой и во второй части доказываемые положения устанавливаются при помощи силлогизмов. В первой части из посылок, что «во всяком равнобедренном треугольнике высота его делит основание пополам» и что «данный треугольник АВС – равнобедренный», мы заключили, что, «следовательно, и в данном треугольнике АВС высота AD делит основание пополам».

Во второй части рассуждения, после того как было найдено, что DC = и что треугольник ADC –прямоугольный, мы умозаключали следующим образом: «Так как во всяком прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов и так как треугольник ADC есть прямоугольный, то и в нём квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов», или «x² = h² + ()²».

Рассуждение это также есть силлогизм.

По модусу ААА обычно ведётся умозаключение суда на правильно поставленном судебном процессе. Установление факта преступления образует здесь меньшую посылку: «S–M». Закон, определяющий меру наказания для преступления данного состава, образует большую посылку: «М–Р». Приговор суда, определяющий для доказанного преступления предусмотренную законом меру наказания, образует вывод: «S–P».

Умозаключение по модусу ААА первой фигуры силлогизма постоянно применяется и в практике повседневного мышления. Модус этот применяется всюду там, где на основе известного знания или положения, имеющего общее значение, указываются особые, или частные, методы, пригодные для достижения цели. Так, зная общее свойство удобрений повышать урожайность и зная, что апатиты представляют один из видов удобрения, хозяйственник применяет апатиты в земледелии.

С целью облегчить запоминание правильных, модусов, каждый правильный модус обозначается особым искусственным, т. е. специально придуманным, латинским словом, в котором первая гласная означает качество и количество большей посылки, вторая гласная – качество и количество меньшей посылки, а третья гласная – качество и количество вывода. Названия модусов первой фигуры следующие:

Barbara, Celarent, Darii, Ferio.