26. Правила доказательного рассуждения

Если будет нарушено хотя бы одно из перечисленных ниж< правил, то могут произойти ошибки относительно доказываемого тезиса, ошибки по отношению к аргументам и ошибки в фор ме доказательства.

Правила по отношению к тезису

1. Тезис должен быть логически определенным, ясны” и точным. Иногда люди в своем выступлении, письменном заявлении, научной статье, докладе, лекции не могут четко, ясно однозначно сформулировать тезис. Так, выступающий на собрании не может четко сформулировать основные положения своего выступления и потому веско аргументировать их перед слушателями. И слушатели недоумевают, зачем он выступал в прениях и что хотел им доказать.

2. Тезис должен оставаться тождественным, т. е. одним и тем же, на протяжении всего доказательства или опровержения. Нарушение этого правила ведет к логической ошибке - “подмене тезиса”.

Ошибки относительно доказываемого тезиса

1. “Подмена тезиса”. Тезис должен быть ясно сформулирован и оставаться одним и тем же на протяжении всего доказательства или опровержения - так гласят правила по отношению к тезису. При нарушении их возникает ошибка, называемая “подменой тезиса”. Суть ее в том, что один тезис умышленно или неумышленно подменяют другим и начинают этот новый тезис доказывать или опровергать. Это часто случается во время спора, дискуссии, когда тезис оппонента сначала упрощаю или расширяют его содержание, а затем начинают критиковать Тогда тот, кого критикуют, заявляет, что оппонент “передергивает” его мысли (или слова), приписывает ему то, чего он не говорил. Ситуация эта весьма распространена, она встречается и при защите диссертаций, и при обсуждении опубликованных научных работ, и на различного рода собраниях и заседаниях, и при редактировании научных и литературных статей.

Здесь происходит нарушение закона тождества, так как не­тождественные тезисы пытаются отождествлять, что и приво­дит к логической ошибке.

2. “Довод к человеку”. Ошибка состоит в подмене доказа­тельства самого тезиса ссылками на личные качества того, кто выдвинул этот тезис. Например, вместо того чтобы доказывать ценность и новизну диссертационной работы, говорят, что дис­сертант - заслуженный человек, он много потрудился над дис­сертацией и т. д. Разговор классного руководителя с учителем, например русского языка, об оценке, поставленной ученику, ино­гда сводится не к аргументации, что данный ученик заслужил эту оценку своими знаниями, а к ссылкам на личные качества ученика: добросовестен в учебе, много болел в этой четверти, по всем другим предметам он успевает и т. д.

В научных работах иногда вместо конкретного анализа матери­ала, изучения современных научных данных и результатов практи­ки в подтверждение приводят цитаты из высказываний крупных ученых, видных деятелей и этим ограничиваются, полагая, что од­ной ссылки на авторитет достаточно. Причем цитаты могут вы­рываться из контекста и иногда произвольно трактоваться. “До­вод к человеку” часто представляет собой просто софистический прием, а не ошибку, допущенную непреднамеренно.

Разновидностью “довода к человеку” является ошибка, назы­ваемая “довод к публике”, состоящая в попытке повлиять на чувства людей, чтобы те поверили в истинность выдвинутого тезиса, хотя его и нельзя доказать.

3. .“Переход в другой род”. Имеются две разновидности этой ошибки: а) “кто слишком много доказывает, тот ничего не доказывает”; б) “кто слишком мало доказывает, тот ничего не доказывает”.

В первом случае ошибка возникает тогда, когда вместо одного истинного тезиса пытаются доказать другой, более сильный тезис, и при этом второй тезис может оказаться ложным. Если из а сле­дует b, но из b не следует а, то тезис а является более сильным, чем тезис b. Например, если вместо того чтобы доказывать, что этот человек не начинал первым драку, начинают доказывать что он и не участвовал в драке, то этим ничего не смогут доказать, если этот человек действительно дрался и это видели свидетели.

Ошибка “кто слишком мало доказывает, тот ничего не доказывает” возникает тогда, когда вместо тезиса а мы докажем более слабый тезис b. Например, если, пытаясь доказать, что это животное - зебра, мы доказываем, что оно полосатое, то ничего не докажем, ибо и тигр - тоже полосатое животное.

Правила по отношению к аргументам

1). Аргументы, приводимые для доказательства тезиса, должны быть истинными и не противоречащими друг другу.

2). Аргументы должны быть достаточным основанием для доказательства тезиса.

3). Аргументы должны быть суждениями, истинность которых доказана самостоятельно, независимо от тезиса.

Ошибки в основаниях (аргументах) доказательства

1. Ложность оснований (“основное заблуждение”). В качестве аргументов берутся не истинные, а ложные суждение которые выдают или пытаются выдать за истинные. Ошибка может быть непреднамеренной. Например, до Коперника ученые считали, что Солнце вращается вокруг Земли и, исходя из этого ложного аргумента, строили свои теории. Ошибка может быть и преднамеренной (софизмом) с целью запутать, ввести заблуждение других людей (например, дача ложных показаний свидетелями или обвиняемыми в ходе судебного расследования, неправильное опознание вещей или людей и т. п., из чего затем делаются ложные заключения).

2. “Предвосхищение оснований”. Аргументы не доказаны, а тезис опирается на них. Недоказанные аргументы только предвосхищают, но не доказывают тезис.

3. “Порочный круг”. Ошибка состоит в том, что тезис обосновывается аргументами, а аргументы обосновываются этим жетезисом. Например, К. Маркс вскрыл эту ошибку в рассуждениях

Д. Уэстона, одного из деятелей английского рабочего движения. Маркс пишет: “Итак, мы начинаем с заявления, что стоимость товаров определяется стоимостью труда, а кончаем заявлени­ем, что стоимость труда определяется стоимостью товаров. Таким образом, мы поистине вращаемся в порочном кругу и не приходим ни к какому выводу”'.

Правило по отношению формы обоснования тезиса (демонстрации)

Тезис должен быть заключением, логически следующим из аргументов по общим правилам умозаключений или получен­ным в соответствии с правилами косвенного доказательства.

Ошибки в форме доказательства

1. Мнимое следование. Если тезис не следует из приводи­мых в его подтверждение аргументов, то возникает ошибка, назы­ваемая “не вытекает”, “не следует”. Люди иногда вместо пра­вильного доказательства соединяют аргументы с тезисом посредством слов “следовательно”, “итак”, “таким образом”, “в итоге имеем” и т. п., полагая, что они установили логическую связь между аргументами и тезисом. Эту логическую ошибку часто неосознанно допускает тот, кто не знаком с правилами логики и полагается только на свой здравый смысл и интуицию. В резуль­тате возникает словесная видимость доказательства.

В качестве примера логической ошибки мнимого следования Б. А. Воронцов-Вельяминов в своем учебнике “Астрономия” указал на широко распространенное мнение, что шарообразность Земли якобы доказывается следующими аргументами: 1) при приближении корабля к берегу сначала из-за горизонта показы­ваются верхушки мачт, а потом уже корпус корабля; 2) возмож­ны и осуществлялись кругосветные путешествия и др. Но из этих аргументов следует не то, что Земля имеет форму шара (или, точнее, геоида), а только то, что Земля имеет кривизну поверхности, замкнутость формы. Для доказательства шарооб­разной формы Земли Б. А. Воронцов-Вельяминов предлагает другие аргументы: а) в любом месте Земли горизонт представ­ляется окружностью, и дальность горизонта всюду одинакова;

6) во время лунного затмения тень Земли, падающая на Луну, всегда имеет округлые очертания, что может быть только в том случае, если Земля шарообразна.

2. От сказанного с условием к сказанному безусловно. Аргумент, истинный только с учетом определенного времени, отношения, меры, нельзя приводить в качестве безусловного, верного во всех случаях. Так, если кофе полезен в небольших дозах (для поднятия артериального давления, например), то в больших дозах он вреден. Аналогично, если мышьяк в неболь­ших дозах добавляют в некоторые лекарства, то в больших до­зах он - яд. Лекарства врачи должны подбирать для больных индивидуально. Педагогика требует индивидуального подхода к учащимся. Этика определяет нормы поведения людей, и в раз­личных условиях они могут несколько варьироваться (например, правдивость - положительная черта человека, но если он вы­даст тайну врагу, то это будет преступлением).

3. Нарушение правил умозаключений (дедуктивных, индуктивных, по аналогии);

а). Ошибки в дедуктивных умозаключениях. Например, в условно-категорическом умозаключении нельзя вывести заключе­ние от утверждения следствия к утверждению основания. Так, из посылок “Если число оканчивается на 0, то оно делится на 5” и “Это число делится на 5” не следует вывод: “Это число оканчи­вается на 0”. Ошибки в дедуктивных умозаключениях были под­робно освещены ранее.

б). Ошибки в индуктивных умозаключениях. “Поспешное обобщение”, например, утверждение, что “все свидетели дают не­объективные показания”. Другой ошибкой является “после этого -значит, по причине этого” (например, пропажа вещи обнаружена после пребывания в доме этого человека, значит, он ее унес).

в). Ошибки в умозаключениях по аналогии. Например, афри­канские пигмеи неправомерно умозаключают по аналогии между чучелом слона и живым слоном. Перед охотой на слона они уст­раивают ритуальные танцы, изображая эту охоту, копьями проты­кают чучело слона, считая (по аналогии), что и охота на живого слона будет удачной, т. е. что им удастся пронзить его копьем.

Этот ритуал ярко описан в книге “Страны и материки”. Приве­дем отрывки из этого описания: “Охота на слонов требует особых приготовлений. Нужно умилостивить злых духов, получить мо­ральную поддержку всех обитателей деревни... Накануне охоты в деревне разыгрывают настоящий спектакль, в котором охотни­ки, сделав чучело слона и поставив его на поляне, показывают своим сородичам, как они будут охотиться. “Артисты” сначала осторожно двигаются, внимательно прислушиваясь и вглядыва­ясь вперед. Знаками они поддерживают связь друг с другом... Тут вступают в игру барабаны. Они громко бьют, предупреждая, что охотники нашли след...

Внезапно всех как будто пронизывает электрическим током; я вздрагиваю и почти перестаю крутить ручку киноаппарата. Бара­баны громыхают: “Бум!” Предводитель резко выпрямляется, машет рукой товарищам и со страхом и ликованием взор устрем­ляет в чучело слона, которое в этот момент всем присутствующим кажется настоящим, живым гигантом... Охотники замирают и не­сколько секунд, показавшихся мне бесконечно долгими, смотрят на слона. Затем охотники отходят на семь или восемь шагов и начинают взволнованно обсуждать план атаки... Предводитель должен первым поразить слона копьем. Он подкрадывается к слону сзади, но вдруг его глаза расширяются от страха, как будто слон стал поворачиваться, и он стремглав бросается к лесу... Три раза предводитель подкрадывается к слону и три раза убегает прочь... Затем охотники, изобразив преследование раненого слона, броса­ются на него, яростно обрушивают копья в чучело и опрокидыва­ют его... Охотники исполняют вокруг поверженного чучела свой победный танец... Через 5 минут под аккомпанемент барабанов пляшут уже все зрители - энергично и весело”',

27. логика и язык

редметом изучения логики являются формы и законы пра­вильного мышления. Мышление есть функция человеческого мо­зга. Труд способствовал выделению человека из среды животных,

явился фундаментом в возникновении у людей сознания (в том числе мышления) и языка. Мышление неразрывно связано с язы­ком. Язык, по выражению К. Маркса, есть непосредственная действительность мысли. В ходе коллективной трудовой деятель­ности у людей возникла потребность в общении и передаче своих мыслей друг другу, без чего была невозможна сама организация коллективных трудовых процессов.

Функции естественного языка многочисленны и многогранны. Язык — средство повседневного общения людей, средство обще­ния в научной и практической деятельности. Язык позволяет передавать и получать накопленные знания, практические умения и жизненный опыт от одного поколения к другому, осуществлять процесс обучения и воспитания подрастающего поколения. Язы­ку свойственны и такие функции: хранить информацию, быть средством выражения эмоций, быть средством познания.

Язык является знаковой информационной системой, продук­том духовной деятельности человека. Накопленная информация передается с помощью знаков (слов) языка.

Речь может быть устной или письменной, звуковой или незву­ковой (как, например, у глухонемых), речью внешней (для дру­гих) или внутренней, речью, выраженной с помощью естествен­ного или искусственного языка. С помощью научного языка, в основе которого лежит естественный язык, сформулированы положения философии, истории, географии, археологии, геоло­гии, медицины (использующей наряду с «живыми» националь­ными языками и ныне «мертвый» латинский язык) и многих других наук.

Язык — это не только средство общения, но и важнейшая составная часть культуры всякого народа.

На базе естественных языков возникли искусственные языки науки. К ним принадлежат языки математики, символической логики, химии, физики, а также алгоритмические языки програм­мирования для ЭВМ, которые получили широкое применение в современных вычислительных машинах и системах. Языками программирования называются знаковые системы, применяемые для описания процессов решения задач на ЭВМ. В настоящее время усиливается тенденция разработки принципов «общения» человека с ЭВМ на естественном языке, чтобы можно было пользоваться компьютерами без посредников—программистов.

Знак — это материальный предмет (явление, событие), высту­пающий в качестве представителя некоторого другого предмета, свойства или отношения и используемый для приобретения, хра­нения, переработки и передачи сообщений (информации, знаний).

Знаки подразделяются на языковые и неязыковые. К неязыко­вым знакам относятся знаки-копии (например, фотографии, от­печатки пальцев, репродукции и др.), знаки-признаки, или знаки-показатели (например, дым — признак огня, повышенная температура тела — признак болезни), знаки-сигналы (например, звонок — знак начала или окончания занятия), знаки-символы (например, дорожные знаки) и другие виды знаков. Существует особая наука — семиотика, которая является общей теорией зна­ков. Разновидностями знаков являются языковые знаки. Одна из важнейших функции языковых знаков состоит в обозначении ими предметов. Для обозначения предметов служат имена.

Имя — это слово или словосочетание, обозначающее какой-либо определенный предмет. (Слова «обозначение», «именова­ние», «название» рассматриваются как синонимы.) Предмет здесь понимается в весьма широком смысле: это вещи, свойства, отношения, процессы, явления и т. п. как природы, так и обще­ственной жизни, психической деятельности людей, продуктов их воображения и результатов абстрактного мышления. Итак, имя всегда есть имя некоторого предмета. Хотя предметы изменчивы, текучи, в них сохраняется качественная определенность, которую и обозначает имя данного предмета.

Имена делятся на: 1) простые («книга», «снегирь», «опера») и сложные, или описательные («самый большой водопад в Кана­де и США», «планета Солнечной системы»). В простом имени нет частей, имеющих самостоятельный смысл, в сложном они име­ются;

2) собственные, т. е. имена отдельных людей, предметов, со­бытий («П. И. Чайковский», «Обь»), и общие (названия класса однородных предметов), например «дом», «действующий вул­кан».

Каждое имя имеет значение и смысл. Значением имени являет­ся обозначаемый им предмет⁸.

Смысл (или концепт) имени — это способ, каким имя обозна­чает предмет, т. е. информация о предмете, которая содержится в имени. Поясним это на примерах. Один и тот же предмет может иметь множество разных имен (синонимов). Так, напри­мер, знаковые выражения «4», «2+2», «9—5» являются именами одного и того же предмета: числа 4. Разные выражения, обозна­чающие один и тот же предмет, имеют одно и то же значение, но разный смысл (т. е. смысл выражений «4», «2+2» и «9 — 5» раз­личен).

Приведем другие примеры, разъясняющие, что такое значение и смысл имени. Такие знаковые выражения, как «великий русский поэт Александр Сергеевич Пушкин (1799—1837)», «автор романа в стихах «Евгений Онегин», «автор стихотворения, обращенного к Анне Петровне Керн, «Я помню чудное мгновенье», «поэт, смертельно раненный на дуэли с Ж. Дантесом», «автор истори­ческой работы «История Пугачева» (1834)», имеют одно и то же значение (они обозначают поэта А. С. Пушкина), но различный смысл.

Такие языковые выражения, как «самое глубокое озеро мира»,

«пресноводное озеро в Восточной Сибири на высоте около 455 метров», «озеро, имеющее свыше 300 притоков и единственный исток — реку Ангару», «озеро, глубина которого 1620 метров», имеют одно и то же значение (озеро Байкал), но различный смысл, поскольку эти языковые выражения представляют озеро Байкал с помощью различных его свойств, т. е. дают различную информацию о Байкале.

Соотношение трех понятий: «имя», «значение», «смысл» — схематически можно изобразить таким образом (рис. 1).

Эта схема пригодна, если имя является не только собствен­ным, т. е. приложимым к одному предмету (число 4, А. С. Пуш­кин, Байкал), но и общим (например, «человек», «озеро»). Тогда вместо единичного предмета значением имени будет класс одно­родных предметов (например, класс озер или класс собак и т. д.) и схема останется в силе при данном уточнении, при этом вместо смысла будет содержание понятия.

В логике различают выражения, которые являются именными функциями, и выражения, являющиеся пропозициональными фу­нкциями. Примерами первых являются «х²+1», «отец у», «раз­ность чисел z и 5»; примерами вторых являются: «х — поэт», «7+у=10», « х >у—7». Рассмотрим эти два вида функций.

Именная функция — это выражение, которое при замене пере­менных постоянными превращается в обозначение предмета. Возьмем именную функцию «отец у». Подставив вместо у имя «писатель Жюль Верн», получим «отец писателя Жюля Вер­на» — имя предмета (в данном случае имя человека).

Именная функция — это такое выражение, которое не являет­ся непосредственно именем ни для какого предмета и нуждается в некотором восполнении для того, чтобы стать именем пред­мета. Так, выражение х² — 1 не обозначает никакого предмета, но если мы его «восполним», подставив, например, на место х  имя числа 3 (обозначающее это число цифру), то получим выражение З² — 1, которое является уже именем для числа 8, т. е. для некото­рого предмета. Аналогично выражение х² + у² не обозначает никакого предмета, но при подстановке на место х и у каких-нибудь имен чисел, например «4» и «1», превращается в имя числа 17. Такие нуждающиеся в восполнении выражения, как х²— 1, х² + у², и называют функциями: первая — от одного, вто­рая — от двух аргументов.

Пропозициональной функцией называется выражение, содержа­щее переменную и превращающееся в истинное или ложное высказывание при подстановке вместо переменной имени пред­мета из определенной предметной области.

Приведем примеры пропозициональных функций: «z — го­род»; «х есть космонавт»; «у— четное число»; «х + у = 10»; «х³-1 = 124».

Пропозициональные функции делятся на одноместные, содер­жащие одну переменную, называемые свойствами (например, «х — композитор», «х—7 = 3», «z — гвоздика»), и содержащие две и более переменных, называемые отношениями (например, «х > у»; «х—z = 16»; «объем куба х  равен объему куба у »).

Возьмем в качестве примера пропозициональную функцию «х — нечетное число» и, подставив вместо х число 4, получим высказывание: «4 — нечетное число», которое ложно, а подставив число 5, получим истинное высказывание: «5 — нечетное число».

Разъясним это на некоторых конкретных примерах. Необ­ходимо указать, какие из приведенных выражений являются именными функциями и какие пропозициональными; определить их местность, т. е. число входящих в выражение переменных, и получить из них имена или предложения, выражающие сужде­ния (истинные или ложные):

а)  «разность чисел 100 и х». Это именная одноместная функ­ция; например, 100 — 6 есть имя предмета, имя числа 94;

б)  «х²+у». Это именная двухместная функция; при подста­новке вместо х  числа 5 и вместо у числа 7 превращается в имя предмета, имя числа 32;

в)  «у — известный полководец». Это пропозициональная од­номестная функция; при подстановке вместо у имени «Александр Васильевич Суворов, родившийся 24 ноября 1730 г.» получим истинное суждение: «Александр Васильевич Суворов, родивший­ся 24 ноября  1730 г., — известный полководец», выраженное в форме повествовательного предложения;

г)  «z является композитором, написавшим оперы х и у». Это пропозициональная трехместная функция; превращается в лож­ное суждение при подстановке вместо z имени «Бизе», вместо х — «Аида», а вместо у — «Травиата», т. е. суждение «Визе яв­ляется композитором, написавшим оперы «Аида» и «Травиата», выраженное в форме повествовательного предложения.

Понятие пропозициональной функции широко используется в математике. Все уравнения с одним неизвестным, которые школьники решают начиная с первого класса, представляют со­бой    одноместные   пропозициональные    функции,    например х+2=7, 10—х = 4. Неравенства, содержащие одну или несколько переменных, также являются пропозициональными функциями. Например, х<7 или х²—у>0.

Семантические категории

Выражения (слова и словосочетания) естественного языка, имеющие какой-либо самостоятельный смысл, можно разбить на так называемые семантические категории, к которым относятся: 1) предложения: повествовательные, побудительные, вопроси­тельные; 2) выражения, играющие определенную роль в составе предложений: дескриптивные и логические термины⁹.

Суждения выражаются в форме повествовательных предложе­ний (например, «Киев — город», «Корова — млекопитающее»). В этих суждениях субъектами соответственно являются «Киев», «корова», а предикатами — «город», «млекопитающее».

К дескриптивным (описательным) терминам относятся:

1. Имена предметов — слова или словосочетания, обознача­ющие единичные (материальные или идеальные) предметы («Аристотель», «первый космонавт», «7») или классы однород­ных предметов (например, «пароход», «книга», «стихотворение», «засуха», «гвардейский полк» и др.).

В суждении «Енисей — река Сибири» встречаются три имени предмета: «Енисей», «река», «Сибирь». Имя предмета «Енисей» выполняет роль субъекта, а имена «река» и «Сибирь» входят в предикат («река Сибири») как его две составные части.

2 Предикаторы— слова и словосочетания, обозначающие свойства предметов или отношения между предметами (напри­мер, «порядочный», «синий», «электропроводный», «есть город», «меньше», «есть число», «есть планета» и др.). Предикаторы бывают одноместные и многоместные. Одноместные предикато­ры обозначают свойства (например, «талантливый», «горький», «большой»). Многоместные предикаторы обозначают (выража­ют) отношения. Двухместными предикаторами являются: «ра­вен», «больше», «мать», «помнит» и др. Например, «Площадь земельного участка А равна площади земельного участка В», «Мария Васильевна — мать Сережи». Пример трехместного предикатора: «между» (например, «Город Москва расположен между городами Санкт-Петербург и Ростов-на-Дону»).

3. Функциональные знаки — выражения, обозначающие предметные функции, операции («ctg α», «+», «V^-» и др.).

Кроме того, в языке встречаются так называемые логические термины (логические постоянные, или логические константы).

В естественном языке имеются слова и словосочетания: «и», «или», «если... то», «эквивалентно», «равносильно», «не», «невер­но, что», «всякий» («каждый», «все»), «некоторые», «кроме», «то­лько», «тот... который», «ни... ни», «хотя... но», «если и только

если» и многие другие, выражающие логические константы (по­стоянные).

В символической (или математической) логике в качестве таких констант обычно используются конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция, кванторы общности и су­ществования и некоторые другие.

В символической логике логические термины (логические по­стоянные) выражаются следующим образом:

Конъюнкция соответствует союзу «и». Конъюнктивное выска­зывание обозначается , или , или (например, «Закон­чились лекции (а), и студенты пошли домой (b)»)   .

Дизъюнкция соответствует союзу «или». Дизъюнктивное суж­дение обозначается: (нестрогая дизъюнкция) и (строгая дизъюнкция); отличие их в том, что при строгой дизъюнкции сложное суждение истинно только в том случае, когда истинно одно из составляющих суждений, но не оба, а при нестрогой дизъюнкции истинными могут быть одновременно оба суждения. «Он шахматист или футболист» обозначается как «Сейчас

Петров находится дома или в институте»  обозначается как

Импликация соответствует союзу «если... то». Условное суж­дение обозначается: или (например, «Если будет хоро­шая погода, то мы пойдем в лес»).

Эквиваленция  соответствует словам «если и только если»,

«тогда и только тогда, когда», «эквивалентно». Эквивалентное высказывание обозначается , или , или

Отрицание соответствует словам «не», «неверно, что». От­рицание высказывания обозначается (например, «пада­ет снег» (а); «неверно, что падает снег» .

Квантор общности обозначается и соответствует кванто­вым словам «все» («всякий», «каждый», «ни один»). •— запись в математической логике (например, в суждении «Все красные мухоморы ядовиты» кванторное слово «все»).

Квантор существования обозначается 3 и соответствует сло­вам «некоторые», «существует». —запись в математичес­кой логике (например, в суждениях «Некоторые люди имеют высшее образование» или «.Существуют люди, которые имеют высшее образование» кванторные слова выделены курсивом).