Атомизм в математике

Атомизм не остался у Демокрита всего лишь физическим воззрением. Он — мыслитель очень последовательный. Став на точку зрения атомизма, он стремится провести ее и в других областях науки.

Одной из таких областей была математика. Демокрит — выдающийся математический ум древности, один из предшественников знаменитого свода математических знаний, появившегося около 3 в. до н. э. Свод этот называется по имени его составителя «Началами Евклида». Атомистическая концепция математики, развитая Демокритом, заключается в том, что Демокрит признал математические тела (шар, конус, пирамиду) состоящими из плоскостей, налагающихся друг на друга, но отделенных друг от друга, как и физические атомы, пустым пространством. Так, конус состоит, согласно этому взгляду, из весьма большого числа кружков, расположенных параллельно основанию конуса в порядке убывания их радиусов по направлению к вершине. Тонкость сечений их такова, что они не могут быть восприняты нашими чувствами. И такова же тонкость слоя пространства, отделяющего сечения друг от друга. В свою очередь плоскости, на которые разлагаются тела, составляются из линий, а линии — из неделимых точек. Неделимые точки недоступны никакому дальнейшему делению: ни механическому, ни делению в мысли.

Наличие у Демокрита вытекающей из данных образов атомистической теории математики засвидетельствовано рядом античных писателей. ⁶ Теория эта не только соответствовала в области математики атомистическому пониманию физических тел и элементов природы. Внутри самой математики она должна была устранить трудности и разрешить противоречия, которые обнаружились после исследований элейцев, в особенности Зенона.

Из учения элейцев следовал скептический вывод, будто построить математику как науку, свободную от противоречий, невозможно. Наука эта до появления учения атомистов строилась на следующих аксиомах: 1) каждый геометрический объект делим до бесконечности; 2) бесконечно большое число элементов (не равных нулю), даже при условии, что все они чрезвычайно малы, всегда дает бесконечно большую сумму.

Вторая из этих аксиом была, как всякому известно в настоящее время, совершенно ошибочна. Однако в 5 в. до н. э. в греческой науке это ошибочное утверждение не только считалось истинным, но принималось как самоочевидное.

Опираясь на это общепринятое утверждение и допустив в виде условно принятого ⁷ тезиса возможность бесконечной делимости целого на части, Зенон и развил аргументы, из которых следовало, что, будучи принятыми, эти положения с необходимостью приводят математику к противоречию. Теория эта одновременно допускала и то, что каждое тело состоит из бесконечно большого числа непротяженных точек, недоступных дальнейшему делению, и то, что каждое тело может быть делимо до бесконечности. Но Зенон показал, что из сформулированных выше двух предположений этой теории с необходимостью следует противоречие: 1) сумма непротяженных точек, из которых состоит тело, непременно будет равна нулю, т. е. тело будет иметь нулевую величину, и 2) при бесконечной делимости любое тело как сумма бесконечно большого числа частей должно оказаться бесконечно большим. А так как противоречие, по Зенону, немыслимо, то Зенон приходит к выводу, будто предпосылка делимости тел ложна. Тела неделимы. Перед математикой возникла, казалось, серьезная трудность.

Атомистическая теория математики избавляла математику от противоречия, обнаруженного в ней критикой Зенона. Теория атомистов утверждала, что деление тела не может идти в бесконечность и что для частиц вещества существует абсолютный предел делимости. Атом и есть этот предел. Поэтому тело, разъясняли атомисты, состоит не из бесконечного числа частей, а из весьма большого, но все же конечного числа атомов. Поэтому всякое тело вовсе не должно оказаться во всех случаях бесконечно большим.

С другой стороны, тело не должно и обращаться в нулевую величину: хотя атомы, из которых состоит тело, весьма малы (не воспринимаются чувствами), однако величина атомов не нулевая. Атомы — реальные частицы вещества. Поэтому всякое тело, представляющее собой соединение или сцепление атомов, не есть ничто, а имеет реальную величину.

Атомистическая теория математики не только избавляла науку от затруднений, вскрытых критикой Зенона. Теория эта была применена Демокритом и его последователями для решения ряда проблем и задач самой математики. Взгляд на конус как на тело, состоящее из весьма большого числа тончайших, чувственно не воспринимаемых плоскостей — из параллельных основанию конуса кружков, был применен Демокритом для обоснования теоремы об объеме конуса. Демокрит выдвинул положение, что объем конуса равен трети объема цилиндра с тем же, что и у конуса, основанием и с равной высотой. Основываясь на том же взгляде, Демокрит высказал положение и об объеме пирамиды: объем этот есть треть объема призмы с тем же, что и у пирамиды, основанием и с той же высотой.

В стереометрии основным атомарным телом Демокрит считал пирамиду. Все тела, по Демокриту, могут быть разложены на пирамиды. По разъяснению советского историка античной науки проф. С. Я. Лурье, шар также рассматривался у Демокрита «как сумма чрезвычайно большого числа «иглообразных» пирамид с недоступными чувствам чрезвычайно малыми основаниями, совокупность которых образует поверхность шара, и с вершинами в его центре…» [36, с. 78]. Иными словами, шар получает у Демокрита вид многогранника с недоступно большим для чувств числом граней.

Одной из важнейших особенностей атомистической теории математики было отрицание реальности иррациональных отношений. С тех пор как пифагорейцами была открыта несоизмеримость отношения между стороной квадрата и его диагональю, проблема иррациональности не переставала занимать греческую математическую мысль. Пифагорейцев она не только занимала, но, и тревожила в буквальном смысле этого слова. Ведь пифагорейцы утверждали, будто вещи — числа и будто все сущее может быть выражено числом. Поэтому открытие иррациональности означало для них настоящий кризис математики, казалось, подрывающий самые основы их, философского учения. Именно поэтому открытие это на первых порах сохранялось в глубокой тайне от непосвященных.

Основываясь на принципах атомизма, Демокрит снимает остроту проблемы. По Демокриту, все математические предметы — тела, поверхности, линии — состоят из атомарных, т. е. неделимых, элементов. Но это значит, что никакие иррациональные отношения невозможны. Любое отношение каких угодно величин есть отношение между целыми числами, выражающими количества неделимых атомарных элементов. Диагональ квадрата, так же как и стороны его, состоит из весьма большого числа неделимых элементов, количество которых конечно и всегда может быть выражено целым числом.

Теория эта вступила в противоречие с непререкаемыми результатами геометрии. Для устранения противоречия Демокрит ввел различение видов знания — чувственного и умозрительного. Иррациональное отношение представляется реальным, согласно его объяснению, только для мысли, опирающейся на чувственное восприятие. Такую мысль Демокрит называет «темной». Для нее диагональ и сторона квадрата кажутся сплошными линиями, отношение между ними может быть иррациональным. Но для умозрения, достигающего последних элементов реальности — атомарных элементов, в мире нет ничего иррационального.

Как отнеслись к этой — атомистической — теории математики современные Демокриту и последующие ученые? У них эта теория математики встретила сильное сопротивление. И действительно. Основное воззрение этой теории состояло в отрицании бесконечной делимости тел и величин. Атомистическая теория утверждала, будто такое идущее в бесконечность деление невозможно. Оно невозможно не только как реальное физическое раздробление материальной частицы на все более мелкие части. Оно невозможно даже в мысли — как мысленное продолжение деления, после того как достигнута технически осуществимая граница делимости. Теория Демокрита утверждает, будто для любого тела и для любого математического элемента существует предел делимости. Этот предел и есть атом — наименьшая величина в абсолютном, смысле слова.

Математика, построенная Демокритом на основе этого воззрения, была свободна от внутренних логических противоречий. Однако положения этой математики явно противоречили чувственной интуиции реальности, на которую опиралась современная Демокриту и последующая античная математика. Но Демокрит апеллирует не к чувственной интуиции, не к непосредственному наглядному созерцанию. Его теория имеет в виду объекты, доступные только миру мысли. Теория Демокрита призывала порвать с обычным представлением, согласно которому начавшемуся делению тела или величины принципиально нельзя положить предела.

Склонить к принятию этого взгляда было трудно: доверие к чувственной интуиции было слишком сильно. Поэтому в своем значительном большинстве последующие математики и философы различных школ, в особенности аристотелевской, отвергли теорию Демокрита. Они провозгласили ее разрушающей основы математики. Уже Евклид, вопреки Демокриту, доказывал в первой теореме Х книги своих «Начал», что в процессе последовательных делений любая величина может стать меньше любой заданной величины. Философскую основу для своего утверждения бесконечной делимости любой величины Евклид мог почерпнуть у Аристотеля.

Подавленная в последемокритовское время критикой со стороны математиков и Аристотеля, атомистическая теория математики возродилась впоследствии в материалистической школе Эпикура.