logo
Гетманова_1998 / Глава 10

Импликация Гейтинга

x \ y

1

½

0

1

1

½

0

½

1

1

0

0

1

1

1

Отрицание Гейтинга

x

Nx

1

0

½

0

0

1

Конъюнкция и дизъюнкция определяются обычным способом как минимум и максимум значении аргументов.

Если учитывать лишь значения функций 1 и 0, то из матриц системы Гейтинга вычленяются матрицы двузначной логики.

421

этой трехзначной логике закон непротиворечия является тавто­логией, но ни закон исключенного третьего, ни его отрицание тав­тологиями не являются. Оба правильных модуса условно-категорического силлогизма, формула (х у) (), правила де Моргана и закон исключенного четвертого (x)- тавтологии.

Хотя по сравнению с логикой Лукасевича в матрицах отрица­ния и импликации Рейтингом в его системе были произведены небольшие изменения, результаты оказались значительными: в системе Рейтинга являются тавтологиями многие формулы классического двузначного исчисления высказываний.

т-значиая система Поста (Рт )1

Система американского математика и логика Э. Л. Поста (1897- 1954) является обобщением двузначной логики, ибо при т = 2 в качестве частного случая мы получаем двузначную логику. Значения истинности суть 1, 2, ..., т (при т 2), где т -конечное число. Тавтологией является формула, которая всегда принимает выделенное значение, лежащее между 1 и т - 1, вклю­чая их самих.

Пост вводит два вида отрицания (N 1x и N 2х) соответственно называемые циклическим и симметричным. Они определяются путем матриц и посредством равенств.

Первое отрицание определяется двумя равенствами:

1. [N 1x]=[x]+1 при [х] т-1.

2. [N 1m]=1.

Второе отрицание определяется одним равенством:

[N 2 x]=m-[x]+1

Характерной особенностью двух отрицаний Поста является то, что при т = 2 эти отрицания совпадают между собой и с отрицанием двузначной логики, что подтверждает тезис: многозначная система Поста есть обобщение двузначной логики.

______________________________

'См.: PoslE.L. Introduction to a General Theory of Elementary Propositions // American Journal of Mathematics. 1921. Vol. 43. №3.

422

Этапы развития логики как науки и основные

направления современной символической логики

X

N 1x

N 2 x

1

2

m

2

3

m – 1

3

4

m –2

4

5

m – 3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

m – 1

m

2

m

1

1

Конъюнкция и дизъюнкция определяются соответственно как максимум и минимум значений аргументов. При указанных опре­делениях отрицания, конъюнкции и дизъюнкции обнаруживается, что при значении для х, большем двух, законы непротиворечия и исключенного третьего, а также отрицание этих законов не явля­ются тавтологиями.

Трехзначная система Р3 Поста имеет следующую указанную в таблицах форму. В этих таблицах приняты обозначения, введенные Постом при m = 3: первое отрицание обозначается через ( ~ 3 р ), второе отрицание - через ( 3 р), конъюнкция через (р.3 р), дизъюнкция - через

рv3 р), импликация - через (р 3 q), эквиваленты - через ( р 3 q ).

р

~3 p

≈3 p

1

2

3

2

3

2

3

1

1

Пояснения

Первое отрицание

Второе отрицание

q \ p

р.3 q

рv3q

р 3q

р 3 q

.

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

1

2

3

1

1

1

1

2

3

1

2

3

2

2

2

3

1

2

2

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

1

2

3

1

1

1

3

2

1

Пояснения

max(p,q)

min(p,q)

(3 р) v3q

(р 3q)^3(qp)

423

Если в качестве значений истинности взяты лишь 1 “истина” и 3 “ложь”, то из таблиц системы Р3 Поста вычленяются табли­цы для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики.

В системе Р3 тавтология принимает значение 1; закон ис­ключенного третьего не является тавтологией ни для первого, ни для второго отрицания Поста, но является тавтологией закон исключенного четвертого для первого отрицания.