Упрощение формул

Введем некоторые соглашения о записи и вычислениях формул.

В формулах будем опускать внешнюю пару скобок, т.е. вместо формулы (ху) будем писать выражение ху. Аналогично в выражениях со знаком отрицания вместо будем записывать .

По закону ассоциативности для операции «∘» вместо формулы ((x ∘ y) ∘ z) или (x∘(y ∘ z)) можно использовать выражение без скобок: x∘ y ∘ z. Для восстановления формулы достаточно расставить скобки, порядок которых не является существенным для вычислений.

Введем также соглашения о старшинстве операций: если в выражении с помощью скобок специально не указан порядок выполнения операций, то одинаковые по старшинству операции выполняются последовательно слева направо. Если в выражении имеются различные операции, то сначала выполняется отрицание, затем конъюнкция, дизъюнкция, импликация и т.д., самой последней выполняется эквиваленция. Скобки восстанавливаются по тому же правилу, например, в выражении хуzt скобки восстанавливаются в следующем порядке:

х(у)zt

(х(у))zt

((х(у))z)t

(((х(у))z)t)

Ввиду введенного старшинства операций не всякая формула может быть записана без скобок. Например, в выражениях х(уz) или х&(yz) дальнейшее исключение скобок невозможно, т.к. это может повлиять на значение, вычисленное по формуле.

В дальнейшем для компактности будем использовать следующую запись вместо х₁&x₂&…&x_s, а также вместо х₁x₂…x_s.

Из свойств элементарных функций следует ряд простых правил преобразования формул:

а) если один из сомножителей логического произведения равен нулю, то значение произведения также равно нулю;

б) если логическое произведение содержит не менее двух сомножителей, один из которых равен единице, то этот сомножитель можно сократить;

в) если логическая сумма содержит не менее двух слагаемых, одно из которых принимает значение ноль, то его можно сократить;

г) если хотя бы одно из слагаемых логической суммы принимает значение единица, то и вся логическая сумма равна единице;

д) пусть U¹ – подформула формулы U; если в формуле U заменить любые вхождения подформулы U¹ эквивалентной ей формулой В¹, то в результате будет получена формула В, эквивалентная исходной формуле U.

Перечисленные свойства и правила позволяют преобразовывать формулы, получая новые тождества.

Рассмотрим эквивалентные преобразования формулы: ¹= ²= ³= ⁴= ⁵=

Тождество 1 записано по правилу сокращения единичного сомножителя, тождество 2 – по правилу замены подформулы эквивалентной формулой, а именно: здесь для замены использовался закон исключенного третьего. В тождестве 3 применяется закон дистрибутивности. Тождество 4 получено по закону коммутативности. И, наконец, тождество 5 записано по закону поглощения, причем для наглядности «поглощающие элементы» подчеркнуты одинарной и двойной чертой.

Помимо описанных правил эквивалентных преобразований формул имеются также другие способы получения новых тождеств, которые основаны на понятии двойственности.