Функции алгебры логики

Алгебра логики возникла в середине 19 века в трудах английского математика и логика Джорджа Буля. Её создание обусловлено стремлением разработать математический аппарат для решения традиционных логических задач, в которых требуется выяснить истинность или ложность тех или иных высказываний или правильность умозаключений. В настоящее время алгебра логики применяется для описания работы дискретных управляющих систем, таких, как контактные схемы, схемы из функциональных элементов, логические сети и др.. Интерес к алгебре логики, связанный с развитием вычислительной техники, привел к многим новым достижениям в этой науке.

Под высказыванием в алгебре логики понимают любое предложение, которое может быть оценено как «истинное» или «ложное». Сопоставим значению «истина» символ «1», а значению «ложь» – символ «0». Таким образом, алгебра логики оперирует на множестве всех высказываний со значениями из двухэлементного множества Е₂ ={0, 1}. Обозначим множество всех высказываний – U. Элементы множества U будем обозначать строчными латинскими буквами a, b, c,…, a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂,…. Произвольные высказывания, которые могут принимать любое значение из множества U, будем называть переменными высказываниями или пропозициональными переменными, и обозначать символами x, y, z, x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂,….

Операции, заданные на множестве U, соответствуют употребляемым в обычной речи логическим связкам: «и», «или», «если…,то», «эквивалентно», частица «не» и т.д.. Назовем их логическими операциями или элементарными функциями алгебры логики. Позже будут введены обозначения для этих операций, сейчас же подчеркнем их функциональную природу, которая обусловлена их однозначным определением.

Из нескольких высказываний с помощью логических связок можно составить новые, более сложные высказывания, которые в свою очередь могут быть либо истинными, либо ложными. Истинность таких составных высказываний естественно зависит от истинности составляющих их высказываний. И эта зависимость, в силу однозначной определенности логических операций, также имеет функциональный характер. Таким образом, составные высказывания можно рассматривать как функции от простых высказываний. Назовем их истинностными функциями. Итак, сигнатура алгебры логики построена – это множество всех истинностных функций (или логических операций). Обозначим это множество Р₂.

Теперь формально, алгебра логики задается двумя множествами: U и Р₂, где U – это множество всех высказываний, принимающих значения «истина» или «ложь», или любое другое множество, элементы которого могут принимать одно их двух значений или находиться в одном из двух состояний. Например, множество переключателей, каждый из которых может быть «включен» или «выключен», или множество электрических сигналов, поступающих на вход некоторого устройства, –«сигнал есть» или «сигнала нет» и т.п..

А множество Р₂ – это множество всех таких функций, которые принимают «истинностные» значения 0 или 1, если аргументы их пробегают те же значения. Алгебра логики занимается изучением свойств этих функций.

Истинностные функции называют также функциями алгебры логики, или булевыми функциями, или переключательными функциями.

Если f(x₁,x₂,…,x_n) – истинностная функция от n аргументов, т.е. f(x₁,x₂,…,x_n) Р₂, то она определяет отображение f: ® E₂. Нетрудно подсчитать число всех таких отображений.

1. Число всех функций алгебры логики от n переменных равно 2²ⁿ.

Доказательство: действительно, если x₁,x₂,…,x_n – пропозициональные переменные, то значение каждого x_i, где i =1,2,…,n, равно либо 0, либо 1. Каждый конкретный набор значений переменных x₁,x₂,…,x_n для краткости назовем «энкой». Каждую «энку» можно рассматривать как последовательность длины n, состоящую из нулей и единиц. Число всевозможных таких последовательностей длины n равно 2ⁿ. Таким образом, значения каждой функции от n переменных определяются 2ⁿ наборами – «энками». При этом для каждой «энки» эти значения могут быть равны 0 или 1. Тем самым, значения самой функции можно рассматривать как последовательность длины 2ⁿ, состоящую из нулей и единиц. Различным функциям будут соответствовать различные последовательности длины 2ⁿ, и каждая последовательность такой длины будет задавать некоторую функцию. Поэтому общее число различных функций от n переменных равно числу последовательностей длины 2ⁿ из нулей и единиц и равно 2²ⁿ.

Функция, принимающая значение, равное нулю на всех «энках», называется «противоречием».

Функция, принимающая значение, равное единице на всех «энках», называется «тавтологией».

«Энки», на которых функция принимает значение, равное единице, называются единичными «энками» или единичными наборами.

«Энки», на которых функция принимает значение, равное нулю, называются нулевыми «энками» или нулевыми наборами.