1. Необходимое условие существования точек локального экстремума функций.

Теорема (необходимое условие существования экстремума): если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х₁ максимум. Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:

, т.е.

Тогда

По определению:

Т.е. если х0, но х<0, то f(x₁)  0, а если х0, но х>0, то f(x₁)  0. Это возможно только в том случае, если при х0 f(x₁) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.