2. Теорема Коши.

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g(x)  0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка , a <  < b, такая, что

.

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

,

которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка ,

a <  < b, такая, что F() = 0.

Т.к. , то

А т.к. , то . Теорема доказана.

3. Построить геометрическое место точек плоскости хОу, задаваемое уравнением .

Приведём уравнение кривой к каноническому виду:

Уравнение сопряжённой гиперболы.

y

2

-2 0 x

4. Провести исследование и построить график функции .

Функция чётная, симметрична относительно Ох.

y ’ - + - +

y 0 x

y ’’ + - +

y -1 1 x

y

-1 0 1 x

-5

-9

БИЛЕТ № 20.

1. Каноническое уравнение эллипса.

2. Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , a <  < b, такая, что .

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Отношение равно угловому коэффициенту секущей АВ.

у

В

А

0 а  b x

Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка  такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.

Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию

F(x) = f(x) – y_{сек АВ}

Уравнение секущей АВ можно записать в виде:

Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка , a <  < b, такая что F() = 0.

Т.к. , то , следовательно

Теорема доказана.

3. Вычислить интеграл .

4. Вычислить .

БИЛЕТ № 21.

1. Каноническое уравнение гиперболы.

2. Производные параметрически и неявно заданных функций.

1. Производная функции, заданной параметрически.

Пусть

Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = (t) имеет обратную функцию t = Ф(х). Тогда функция у = (t) может быть рассмотрена как сложная функция y = [Ф(х)].

Т.к. Ф(х) – обратная функция, то . Окончательно получаем:

Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

2. Производная неявно заданной функции.

Пусть дана дифференцируемая функция , для которой в некоторой точке выполнено неравенство

Тогда в некоторой окрестности точки уравнение

определяет, как мы знаем из теоремы о неявной функции, некоторую функцию , заданную вблизи точки в .

Пусть требуется найти её частные производные , . Это можно сделать, применив формулу производной сложной функции к функции

которая тождественно равна 0 в окрестности точки ; следовательно, и все её частные производные в точке обращаются в 0. Итак, считая параметром, от которого зависят все аргументы функции , переменную , где , получаем по формуле :

(производные равны 0 при , ), то есть откуда или

Эта важная формула позволяет вычислять производные неявно заданной функции , не имея задающего её явного выражения.