logo
Ekzamen_po_matematike

1. Виды уравнений прямой на плоскости.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

1. Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х1  х2 и х = х1, еслих1 = х2.

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

4. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

Каждый ненулевой вектор (1, 2), компоненты которого удовлетворяют условию А1 + В2 = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.

5. Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С  0, то, разделив на –С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

6. Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим xcos + ysin - p = 0 – нормальное уравнение прямой. Знак  нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а  - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

7. Определение. Прямая, проходящая через точку М1(х1, у1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

2. Теорема о производной сложной функции.

Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда .

Доказательство.

( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда . Теорема доказана.

3. Вычислить значение выражения .

4. Найти значение y’ в точке , если зависимость у от х задана неявно уравнением .

БИЛЕТ № 18.

1. Виды уравнений плоскости в пространстве.

Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0, где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат.

Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы были компланарны, т.е. ( ) = 0

Таким образом,

2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

3. Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор .

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .

Векторы и вектор должны быть компланарны, т.е.

( ) = 0. Уравнение плоскости:

3. Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости.

Пусть заданы два вектора и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны. Уравнение плоскости:

4. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.

Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение

 = 0. Таким образом, получаем уравнение плоскости

Теорема доказана.

5. Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)

, заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:

Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

6. Уравнение плоскости в векторной форме.

где - радиус- вектор текущей точки М(х, у, z), - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат; ,  и  - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z; p – длина этого перпендикуляра.

В координатах это уравнение имеет вид:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4