1. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

Пусть в -мерном линейном пространстве выбран базис , и другой, новый, базис . Возьмем произвольный вектор из пространства . Его координатный столбец в старом базисе обозначим , а в новом -- .

Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису:

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой где справа стоит произведение матрицы перехода на матрицу-столбец.

Доказательство. Так как  - координатный столбец вектора в новом базисе, то . Заменив векторы их разложениями по старому базису, получим: .

Изменим порядок суммирования Здесь мы получили разложение вектора по старому базису, причем координата вектора с номером равна . Элемент с номером столбца будет иметь такой же вид. Следовательно, формула доказана.

2. Теоремы о пределе частного, суммы и произведения.

Если существуют пределы :

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов:

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов:

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0):

3. Выполнить действия .

1.

2.

4. Вычислить .

БИЛЕТ № 12.

1. Неравенство Коши-Буняковского.

Теорема (неравенство Коши-Буняковского): для любых чисел :

Доказательство: при неравенство верно. Допустим, . Докажем, что

Перепишем это неравенство, частично раскрыв скобки:

.

Легко заметить, что для того, чтобы доказать это неравенство, достаточно доказать

Перенеся все слагаемые в одну сторону, и сгруппировав их, получаем очевидное неравенство:

, что и доказывает неравенство Коши-Буняковского.