Множеств теория

— математическая теория, изучающая точ­ными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. — свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бес­конечных.

Множество A есть любое собрание определенных и различи­мых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объек­ты называются элементами или членами множества A. Если элемент х принадлежит множеству A, то это обозначается так: хÎ А; если же х не есть элемент A, то это обозначается так: хÏА. Если каждый элемент множества A принадлежит множеству В, то это записывается так: А Ì В. Множество A называется в этом случае подмножеством множества В, а отношение «Ì» — отно­шением включения множеств. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 0. В приложениях М. т. часто рассматривают подмножества некоторого фиксированного множества, которое называют универсальным множеством и обозначают символом U. Важнейшими принципами М. т. являются принцип экстенсиональности и принцип свертывания (абстракции). Согласно принципу экстенсиональ­ности, два множества A и В равны только в том случае, если они состоят из одних и тех же элементов. Согласно принципу свертыва­ния, любое свойство Р определяет некоторое множество А, эле­ментами которого являются объекты, обладающие свойством Р.

Объединение множеств A и В обозначается через AÈB. Объе­динение A и В есть множество всех предметов, которые являются элементами множества А или множества В, т. е. х принадлежит объединению А È В, если х принадлежит хотя бы одному из мно­жеств А и В.

Пересечение множеств A и В обозначается через AÇB. Пере­сечение A и В есть множество всех предметов, являющихся элемен­тами обоих множеств A и В, т. е. х принадлежит пересечению AÇB, если х принадлежит как множеству A, так и В.

Разность множеств А — В есть множество элементов A, не принадлежащих В.

Дополнением множества A (обозначается A') называется множество элементов универсального множества U, не принадле­жащих A, т. е. U - А.

[203]

Для любых подмножеств A, В и С универсального множества U справедливы следующие важные равенства:

Некоторые из перечисленных равенств имеют специальные на­звания: 7 и 7' — законы идемпотентности, 9 и 9' — законы погло­щения, 10 и 10' — законы де Моргана.

Классическая М. т. исходит из признания применимости к бес­конечным множествам принципов логики. В развитии М. т. в начале XX в. выявились трудности, связанные с обнаружением парадоксов — противоречий, к которым приводит применение законов фор­мальной логики к бесконечным множествам. Дальнейшая разра­ботка М. т. была связана с уточнением понятия множества и устра­нением парадоксов.