Вывод логический

— рассуждение, в ходе которого из к.-л. исходных суждений — посылок — с помощью логических правил получают заключение — новое суждение. Напр., из суждений «Все люди смертны» и «Кай — человек» мы можем вывести с помощью правил простого категорического силлогизма новое суждение: «Кай смертен».

В символической логике вывод определяется более строго — как последовательность высказываний или формул, состоящая из аксиом, посылок и ранее доказанных формул (теорем). Последняя формула данной последовательности, выведенная как непосред­ственное следствие предшествующих формул по одному из пра­вил вывода, принятых в рассматриваемой аксиоматической тео­рии, представляет собой выводимую формулу. Поскольку каждая формальная система имеет свои собственные аксиомы и правила вывода, постольку во всякой системе понятие вывода носит спе­цифический характер.

В качестве примера приведем определение понятия вывода для следующей формальной системы. Алфавит системы включает в себя бесконечный набор символов:

р, q, r, s, ...; p₁ q₁, r₁, s₁, ...; p₂q₂, r₂, s₂, ... ,

которые называются пропозициональными переменными. К ним до­бавляются следующие четыре символа:

(,),->, ~

левая и правая скобки, знак импликации и знак отрицания. Прави­ла построения формул:

1) всякая пропозициональная переменная есть формула;

2) если А и В суть формулы, то (А—>В) есть формула;

[56]

3) если A есть формула, то ~ A есть формула.

В качестве аксиом можно принять следующие три формулы:

а) s-> (p->s);

б) (s->(p->q))->((s->p)->(s->q));

в) (~p->~q)->(q->p).

В качестве правил вывода принимаются следующие два

правила:

1) Правило подстановки: если формула А получается из формулы А путем замены некоторой переменной повсюду, где она встречается в Л, на некоторую формулу С, то из A следует А'.

2) Правило отделения: из формул вида (А->В) и A следует формула В.

Теперь можно определить понятие вывода. Последовательность формул A₁, ..., А_т называется выводом формулы A из посылок Г₁ ..., Г_т, если каждая формула этой последовательности есть либо одна из аксиом системы, либо одна из посылок Г₁, ..., Г_т, либо получена из каких-то предыдущих формул последовательности по одному из правил вывода данной системы, а формула А есть пос­ледняя формула данной последовательности.

Формулу A, для которой существует вывод из посылок Г₁, ..., Г_т называют выводимой из Г₁, ..., Г_т. Утверждение о выводимости формулы A из посылок Г₁, ..., Г_т записывается так: Г₁, ..., Г_т |-A и читается: «Формула A выводима из посылок Г₁, ..., Г_т». Безот­носительно к специфике формальной системы отношению логи­ческой выводимости (|-) присущи следующие свойства:

1) Г |- Е,.если Е входит в список посылок Г.

2) Если Г |- Е, то Г, ∆ |- Е для любого перечня формул Д.

3) Если Г |- Е, то ∆ |- Е, когда ∆ получено из Г путем перестанов­ки формул Г или опускания таких формул, которые тождественны остающимся формулам.

4) Если Г |- Е, то ∆ |- Е, когда ∆ получено из Г за счет опуска­ния любых формул Г, которые доказуемы или выводимы из остающихся формул Г.