Вопрос №43 Роль моделей в научном познании, их классификация.

Модели – могут быть материальными и идеальными. В идеальные входят математические и знаковые, иногда в качестве моделей теории модель – система замещает изучаемый объект. Модель в существенных свойствах сходна с изучаемым объектом. Изучая модель – получаем информацию об интересующем нас объекте. Принижение моделей вызывается тем, что изучение многих объектов, это опасное дорогостоящая и очень трудоёмкая процедура.

Материальные объекты (модели), действительно построенные модели, самолётов, судов, экономичность, удобство, лёгкость оперирования с ними. Пример – капельная модель ядра.

Идеальные объекты (модели). Математические: можно промоделировать эволюцию звезды, изменение количества особей в популяции; глобальные модели характеризующие человеческое общество, они были сделаны по заказу Римского клуба; демографический взрыв, ядерная проблема. Моделирование развивает метод аналогий – суть: изучая одну систему, можно опираться на опыт другой системы сходной. Модель замещает оригинал, и она может быть самой различной природы – модель внутреннего строения земли, эволюции галактики. Модели применяются очень широко и повсюду.

Рассмотрим следующую группу предметов: арбуз, воздушный шар, футбольный мяч, глобус и шарикоподшипник. По какому признаку мы можем объединить их в один класс вещей? У всех у них разная масса, цвет, химический состав, функциональное назначение. Единственное, что их может объединить, так это то что они сходны по «форме». Очевидно, что все они «шарообразны». Нашу интуитивную убеждённость в сходстве этих вещей по форме, которую мы черпаем из показаний наших органов чувств, мы можем перевести на язык рационального рассуждения. Мы скажем: указанный класс вещей имеет форму шара.

Исследованием геометрических форм и их соотношений занимается специальная наука геометрия. Как же геометрия выделяет объекты своего исследования и каково соотношение этих теоретических объектов с их эмпирическими прообразами? Вопрос этот занимает философскую мысль со времён Платона и Аристотеля.

Чем отличается объект геометрии – точка, прямая, плоскость, круг, шар, конус и т. д. от соответствующего ему эмпирического коррелята? Во-первых, геометрический объект, например, шар, отличается от мяча, глобуса и т. п. тем, что он не предполагает наличие у себя физических, химических и прочих свойств, за исключением геометрических. На практике объекты с такими странными особенностями, как известно, не встречаются. В силу этого факта и принято говорить, что объект математической теории есть объект теоретический, а не эмпирический, что он есть конструкт, а не реальная вещь.

Во-вторых, теоретический объект отличается от своего эмпирического прообраза тем, что даже те свойства вещи, которые мы сохраняем в теоретическом объекте после процесса модификации образа (в данном случае геометрические свойства), не могут мыслиться такими, какими мы их встречаем в опыте. Не приведёт ли прогресс техники и процедур измерения к тому, что человек сможет физически воспроизвести тот или иной геометрический конструкт? Природа вещей такова, что такая возможность в принципе нереализуема. Нельзя вырастить арбуз, который по своей форме был столь же «правильным», как подшипник, этому препятствуют законы живого. Нельзя создать такой подшипник, который бы абсолютно точно соответствовал геометрическому шару, этому препятствует молекулярная природа вещества. Отсюда следует, что хотя на практике мы можем создавать вещи, которые по своим геометрическим свойствам всё больше и больше приближаются к идеальным структурам математики, всё же надо помнить, что на любом этапе такого приближения между реальным объектом и теоретическим конструктом лежит бесконечность.

Из сказанного вытекает, что точность и совершенство математических конструкций является чем-то эмпирически недостижимым. Поэтому, для того, чтобы создать конструкт, мы должны произвести ещё одну модификацию нашего мысленного образа вещи. Мы не только должны трансформировать объект, мысленно выделив одни свойства и отбросив другие, мы должны к тому же выделенные свойства подвергнуть такому преобразованию, что теоретический объект приобретает свойства, которые в эмпирическом опыте не встречаются.

Какой же эмпирический смысл (т. е. смысл, отображающий эмпирически обнаруживаемые познавательные ситуации) вкладывается тезис, когда утверждается, что никакая материальная конструкция ни когда не может приблизиться к идеально точному математическому объекту? На практике это может означать, что какого бы полного согласия на опыте между математической абстракцией и конкретной фигурой мы ни имели, всякий раз может случиться, что повышение точности наших средств измерения приведёт к обнаружению расхождения между свойствами реальной модели и её идеального образца. Однако, повысив качество обработки материала, мы можем ликвидировать это расхождение. Это, тем не менее, не меняет ситуации в принципе, а лишь подвигает на один шаг проблему дальше, ведь повысив точность измерения, мы вновь обнаруживаем указанное расхождение. Принципиально важным является то, что существует абсолютный предел (обусловленный законами природы) приближения любой материальной модели к её идеальному образцу. Ведь даже траектория светового луча не может представлять собой идеальную прямую, ибо свет есть поток квантов, а движение кванта, как учит квантовая механика, не может быть соотнесено с какой-то определённой, классически понимаемой траекторией.

Вот тут-то и происходит, согласно традиционной концепции, скачок мысли, скачок к абсолютно точному конструкту. Любая точка, которую мы достигаем на практике, ничто по сравнению с точностью мысленной конструкции, ибо их разделяет бесконечность. При всей своей бесконечной точности математика ни на йоту не может повысить точность эмпирически поставленной задачи, но она гарантирует полное сохранение исходной эмпирической точности в процессе математических манипуляций с данными величинами.

Таким образом, никакого предельного перехода от конечного к бесконечному в прямом смысле этого слова нет. Перед нами просто два ряда объектов – реальных и формальных. Свойства одних заданы эмпирически «природой вещей», свойства других заданы нами, т. е. чисто формально, их точность абсолютна, но она не имеет никакого реального метрического смысла. Их конечная цель – служить средством описания эмпирических объектов. Наука (особенно современная) демонстрирует нам многочисленные примеры, когда вначале создаётся теоретическая конструкция, а уж за тем удаётся подыскать соответствующий ей класс реальных объектов или процессов.

Математическое моделирование

Математическая модель представляет собой абстрактную систему, состоящую из набора математических объектов. В самом общем виде под математическими объектами современная философия математики подразумевает множества и отношения между множествами и их элементами. Различия между отдельными объектами главными образом определяются тем, какими дополнительными свойствами (т. е. какой структурой) обладают рассматриваемые множества и соответствующие отношения.

В простейшем случае в качестве модели выступает отдельный математический объект, т. е. такая формальная структура, с помощью которой от эмпирически полученных значений одних параметров исследуемого материального объекта переходить к значению других без обращению к эксперименту. Например, измерив окружность шарообразного предмета, по формуле объема шара вычисляют объём данного предмета.

Очевидно, ценность математической модели для конкретных наук и технических приложений состоит в том, что благодаря восполнению её конкретно-физическим или каким-либо другим предметным содержанием она может быть применена к реальности в качестве средства получения информации. С другой стороны, только благодаря тому, что нам удаётся подбирать такие объекты (процессы, явления), которые обладают способностью служить восполнением модели, мы можем посредством данной модели получить о них полезную информацию.

По существу, любая математическая структура (или абстрактная система) приобретает статус модели только тогда, когда удаётся констатировать факт определённой аналогии структурного, субстратного или функционального характера между нею и исследуемым объектам (или системой). Другими словами, должна существовать известная согласованность, получаемая в результате подбора и «взаимной подгонки» модели и соответствующего «фрагмента реальности». Для того, чтобы исследовать реальную систему, мы замещаем её (с точностью до изоморфизма) абстрактной системой с теми же отношениями; таким образом, задача становиться чисто математической. Например, чертёж может служить моделью для отображения геометрических свойств моста, а совокупность формул, положенных в основу расчёта размеров моста, его прочности, возникающих в нём напряжений и т. д., может служить моделью для отображения физических свойств моста.

Что представляют собой в гносеологическом смысле математические модели, т. е. математические структуры (по выражению Н. Бурбаки), по отношению к реальности независимо от их конкретной интерпретации?

Версия номинализма, согласно которой математика есть просто язык, сам по себе не имеющий никакого онтологического содержания, кажется, кажется, даёт слишком лёгкое решение вопроса. Если математические уравнения, которые мы накладываем на определённую экспериментально фиксируемую область с целью упорядочения фактуальной информации и перевода её на точный количественный язык, - если эти уравнения есть лишь чисто ментальная конструкция ума, то чем объяснить их поразительную «предопределённость», приспособленность к фактическим ситуациям? Если об абстрактных объектах ничего не известно, кроме соотношений, которые существуют между ними в рамках формальной системы и, следовательно, их природа не даёт указаний на какую бы то ни было связь с внеязыковой реальностью, если их единственная спецификация состоит в том, что они согласуются со структурой системы, определяемой исходными аксиомами, то всё же остаётся вопрос: «Что побуждает нас принять за основу определённую избранную нами систему аксиом? Непротиворечивость для этого необходима, но не достаточна.

То, что математика есть некий особый язык, используемый человеком в процессе познания, это очевидно. Поэтому уже один только перевод какой-либо качественной задачи на чёткий, однозначный и богатый по своим возможностям язык математики позволяет увидеть задачу в новом свете, прояснить её содержание.

Однако математика даёт и нечто большее. Характерным для математического способа познания является использование «дедуктивного звена», т. е. манипулирование с объектами по определённым правилам и получение таким путём новых результатов. И наконец, любая нетривиальная система математических объектов заключает в себя явно или неявно некоторую исходную семантику, некоторый способ «видения мира». Именно этим в первую очередь определяется ценность математического моделирования реальности. Два типа математических моделей: модели описания и модели объяснения. Обращение к истории науки позволяет выделить два типа теоретических схем основанных на двух видах математических моделей, применяемых в конкретных науках и технических приложениях, - моделях описания и моделях объяснения. В истории науки примером модели первого вида может служить схема эксцентрических кругов и эпициклов Птолемея. Математический формализм ньютоновской теории тяготения является соответствующим примером модели второго вида.

Модель описания, не предполагает каких бы то ни было содержательных утверждений о сущности изучаемого круга явлений. Известно, что птолемеевская модель обеспечивала в течение почти двух тысяч лет возможность поразительно точного вычисления будущих наблюдений астрономических объектов. Ошибочность птолемеевской системы заключалась вовсе не в самой математической модели, а в том, что с используемой моделью связывались физические гипотезы, и к тому же такие, которые лишены научного содержания (в частности, тезис о «совершенном» характере движения небесных тел).

Для моделей описания характерно то, что здесь соответствие между формальной и физической структурой не обусловлено какой-либо закономерностью и носит характер единичного факта. Отсюда глубина восполнения модели описания для каждого объекта или системы различна и не может быть предсказана теоретически. Задача определения глубины восполнения решается поэтому всегда эмпирически.

Применимо ли понятие истины и лжи для моделей описания? В строгом смысле по видимому, нет. К ним применим скорее критерий полезности, чем истинности. Модели описания бывают «хорошими» и «плохими». «Плохая» модель – это либо слишком элементарная модель (в этом случае она тривиальна), либо слишком сложная (и тогда она малоэффективна ввиду своей громоздкости). «Хорошая модель – это модель, сочетающая в себе достаточную простоту и достаточную эффективность.

Модели объяснения представляет собой качественно иной вид познавательных моделей. Речь идёт о тех случаях, когда структура объекта (или система) находит себе соответствие в математическом образе в силу внутренней необходимости. Здесь модель есть уже нечто большее, чем простая эмпирическая подгонка, ибо она обладает способностью объяснения. Если математический формализм адекватно выражает физическое содержание теории и выступает моделью объяснения, то он становиться не только орудием вычисления и решения задач в уже известной области опыта, но и средством генерирования новых физических представлений, средством обобщения и предсказания. Например, из уравнений Ньютона можно вывести закон сохранения импульса, из уравнений Максвелла – идею о физическом родстве электромагнитных и оптических явлений, из уравнений Дирака – существование позитрона и т. д. Этот эпистемологический феномен Ю. Б. Румер и М.С. Рывкин называют «принципом гносеологического продолжения».

Рассмотренные характерные гносеологические свойства моделей объяснения.

1. Способность к кумулятивному обобщению. Хотя любая модель в своём становлении в качестве объясняющей теории имеет вначале весьма ограниченную эмпирическую базу, её гносеологическая ценность обнаруживается в том, что она способна к экстенсивному расширению, к экстраполяции на новые области фактов. Механизм обобщения при этом не предполагает изменения исходной семантики теории или порождения новой семантики.

2. Способность к предсказанию. В отличие от моделей описания (которые способны лишь к количественному предсказанию), объясняющие модели способны к предсказанию принципиально новых качественных эффектов, сторон, элементов. Благодаря тому, что модель представляет собой целостную концептуальную систему, она заключает в себе всю полноту своих элементов, сторон, отношений. Поскольку, с другой стороны, наш опыт всегда неполон, незакончен, то модель оказывается «богаче», чем имеющийся в нашем распоряжении эмпирический материал. Иначе говоря, концептуальная система в своей внутренней структуре может содержать такие элементы, стороны, связи, которые ещё не обнаружил опыт. Модель, таким образом, позволяет предвосхитить новые факты. Известно, например, что в конце прошлого века Г. С. Фёдоров на основе исследования полной симметрии кристаллов предсказал существование новых кристаллических форм. Более того, кристаллическая модель оказалась орудием установления множества всех возможных в природе кристаллов. Поскольку было установлено, что множество всех мыслимых кристаллов должно подчиняться определённым математическим соотношением, то кристаллография оказалась способной к точному прогнозированию того, какого рода кристаллы могут быть созданы том или ином случае. Эшби подчёркивает: «Когда мы определяем кристалл как нечто, обладающее определёнными свойствами симметрии, то, по сути дела, утверждаем, что кристалл должен иметь некоторые другие свойства симметрии, что последнее необходимо вытекает из первых, иначе говоря, что они суть те же свойства, но рассматриваемые с другой точки зрения. Таким образом, математическая кристаллография образует своего рода основу или структуру, более ёмкую и богатую, чем эмпирический материал…».

3. Способность к адаптации. Это свойство модели проявляется в том, Пуанкре назвал «гибкостью» теорий. Истинная теория должна заключать в себе возможность видоизменяться и совершенствоваться под влиянием новых экспериментальных фактов. Если форма модели настолько жестка, что не поддаётся никаким модификациям, то это есть признак её малой жизнеспособности. Модели описания, как правило, являются жёсткими. Напротив, модель, претендующая на объяснение, путём отдельных видоизменений может сохранить свою силу, несмотря на возражения и контрпримеры. «Возражения, - констатирует Пуанкаре, - скорее идут на пользу теории, чем во вред ей, потому что позволяют раскрыть всю внутреннюю истину, заложенную в теории».

4. Способность к трансформированию обобщению. Модель объяснения, как правило может быть подвергнута обобщению с изменением исходной семантики обобщаемой теории. Формализм более общей теории может иметь законченное выражение независимо от менее общей, но он должен содержать формализм старой теории в качестве предельного случая. Так, в волновой оптике электромагнитные волны описываются векторами электрического и магнитного полей, удовлетворяющими определённой системе линейных дифференциальных уравнений (уравнений Максвелла). Предельный переход от волновой оптики к геометрической соответствует тем случаям, когда мы имеем малую длину волн, что математически выражается большой величиной изменения фазы на малых расстояниях.

Анализ показывает, что глубина восполнения модели описания может быть установлена только эмпирически для каждого отдельного случая. Что касается модели объяснения, то при её трансформационном обобщении глубина восполнения исходной модели может быть строго установлена теоретически. Этот факт имеет фундаментальное гносеологическое значение.

В одной из основных статей В. Гейзенберг обращает внимание на то, что в истории естествознания встречаются два типа теорий. К первому типу относится так называемые «феноменологические» теории. Для них характерна такая формулировка закономерностей в области наблюдаемых физических явлений, в которой не делается попытка свести описываемые связи к лежащим в их основе общим законам природы, через которые они могли бы быть понятными. (Например, в химии – правила валентности, в оптике - формулы дисперсионной теории Друде). Ко второму типу относятся теории, которые обеспечивают «истинное познание явлений» (например, ньютоновская физика, квантовая механика и др.).

Гносеологическая особенность феноменологических теорий состоит в том, «что хотя они делают возможным описание наблюдаемых явлений, и, в частности, нередко позволяют очень точно предвычислить новые эксперименты или последующие наблюдения, все же они не дают истинного познания явлений». Существуют два рода феноменологических теорий: 1) теории первого рода используют главным образом формальные связи, например, теория Птолемея использовала чисто формальные возможности представлять периодические явления через ряды Фурье; 2) теории второго рода дают качественные формулировки того часто ещё неизвестного, что обозначают через сознательно неопределённое выражение – «физическая сущность», например, феноменологическая термодинамика XIX века, опиравшаяся на понятие «энтропии». Феноменологические теории это и есть модели описания. Модели же объяснения – это то, что Гейзенберг называет теориями, дающими истинное познание явлений.