Вопрос №45 Методология логико-математических наук.

Вопрос об отношении математики к реальному миру является одним из основных для объяснения природы математики как науки. Только ответив на вопрос о происхождении и содержании математических понятий и теорий, можно ставить и разрабатывать остальные философские вопросы.

Ещё древнегреческие философы дали два противоположных истолкования вопроса об отношении математики к реальному миру. Аристотель утверждал, что математические понятия являются абстракциями от реальных вещей. Платон, напротив, считал, что математические понятия занимают промежуточное положение между миром чувственно воспринимаемых вещей и миром «идей» и являются лишь слабыми «тенями» последних. В дальнейшем взгляды Аристотеля и Платона неоднократно подвергались обсуждению. Но как ни подходили философы и математики к решению вопроса об отношении математики к реальности, конечным результатом их рассуждений были следующие заключения:

- материалисты доказывали, что понятия и законы математики являются копиями, отражениями, полученными в процессе абстрагирования от реальных вещей, их свойств и отношений между ними;

- субъективные идеалисты утверждали, что основные понятия и законы математики являются продуктами «свободного» мышления людей;

- объективные идеалисты пытались доказать, что математики – самостоятельные сущности, существующие независимо от мира реальных вещей, в каком-то особом мире «идей», «идеальных объектов».

В течение столетий сторонники этих толкований вели борьбу. Но где и как бы ни развёртывалась эта борьба, она всегда концентрировалась около вопроса об отношении математики к материальной действительности. В этой борьбе большинство ведущих математиков, как правило, отстаивало материалистическое толкование математики.

Методы математики способствуют механике, астрономии, физике и другим наукам проникать в сущность законов природы и предвидеть то, что ещё осталось за границами знания. Например, законы механики и методы математики помогли У. Леверрье и Д. Адамсу (XIX в.), а потом и П. Ловеллу (XX в.) теоретически установить существование двух новых, расположенных за Сатурном, планет – Нептуна и Плутона, после чего их существование было подтверждено астрономическими наблюдениями. Методы математической физики привели К. Максвелла к заключению о наличии давления света, после чего П.Н. Лебедев подтвердил этот прогноз рядом точных экспериментов.

Центральной в философских вопросах математики является проблема соотношения весьма абстрактных математических конструкций и реальной действительности.

Проблему соотношения математики и действительности пытались решить многие философские течения. Эмпиризм, который стремился свести все теоретические знания к высказыванию о чувственном, хотел провести такую точку зрения и по отношению к математике. В наиболее яркой форме эти идеи были выражены в работах английского философа Дж. Ст. Милля.

Основой того, почему мы верим, что, например, 2+1=3 является наш опыт, под которым Дж. Ст. Милль понимал чувственный опыт отдельного изолированного индивида. Это соотношение, согласно Дж. Ст. Миллю, резюмирует эмпирический факт, который мы до сих пор постоянно встречали в своём непосредственном опыте. Нам всегда удавалось, встретив три вещи в определённом порядке, разложить их на группы из двух вещей и одной отдельно стоящей вещи. Это интуитивная истина, ставшая нам известной благодаря обыденному опыту и с тех пор постоянно подтверждающаяся. Алгебра ведёт это обобщение дальше: всякий алгебраический символ изображает любые числа. Аналогично в геометрии: «Всякая теорема геометрии есть закон внешней природы и может быть установлена путём обобщения наблюдений и опытов».

Пытаясь рассмотреть математическое знание как продукт чувственного опыта отдельного субъекта, эмпиризм встречается с непреодолимыми трудностями. Чувственный опыт всегда имеет дело с единичным и случайным, а математические положения всеобщи и необходимы. Математика оперирует такими понятиями, содержание которых далеко выходит за рамки того, что доступно чувственному опыту отдельного человека. Непосредственным опытом отдельного субъекта всеобщие математические положения могут лишь подтверждаться, но не порождаться, так как выводы из непосредственного опыта всегда индуктивные, а математические положения носят необходимый характер. Поэтому невозможно построить грандиозное здание математики на таком шатком основании, как единичный чувственный образ в сознании индивида.

Неопозитивисты считают, что математика в отличие от остальных наук, представляют собой вспомогательный аппарат для осуществления языковых преобразований в науках о фактах. Б. Рассел, например, так говорит о характере математического знания: «… математическое знание не выводиться из опыта путём индукции; основание, по которому мы верим, что 2+2=4 не в том, что мы так часто посредством наблюдения находим на опыте, что одна пара вместе с другой парой даёт четвёрку. В этом смысле математическое знание всё ещё не эмпирическое. Но это и не априорное знание о мире. Это на самом деле просто словесное знание о мире. «3» обозначает «2+1», а «4» означает «3+1». Отсюда следует, что «4» означает то же, что «2+2». Таким образом, математическое знание перестало быть таинственным. Оно имеет такую же природу, как и «великая истина», что в ярде 3 фута».

Для диалектического материализма не существует дилеммы: либо признать, что математика сводится к чувственному воспринимаемому, либо считать её не имеющей никакого отношения к действительности. Диалектический материализм не связывает объективность предмета научного исследования с формой, в которой субъект постигает его. Объективно не только то, что чувственно воспринимаемо, но и то, что находит своё отражение в теоретической форме, несводимой к чувственно воспринимаемому.

Проблема существования в современной математике

В современной математике и математической логике весьма живо обсуждаются проблема существования в применении к абстрактным объектам. Номинализм и реализм ведут нескончаемые споры о принятии или непринятии абстрактных объектов, причём отказ от их рассмотрения мотивируется тем, что в противном случае мы придём к постулированию мира идей Платона. Те же, кто признают абстрактные объекты, тем не менее, отмежевываются от Платона, заявляя, что их рассмотрение не ведёт к онтологии платоновского толка. Неопозитивизм в лице своих виднейших представителей Б. Рассела и Р. Карнапа также неоднократно обращался к рассмотрению проблемы существования. Эта проблема возникает из осознания невозможности сведения абстрактных математических объектов к единичным чувственно воспринимаемым вещам.

Представление о самостоятельном существовании математических объектов приводит к ряду трудностей как гносеологического, так и логико-математического характера. Привычка обращаться с математическими объектами так, как будто бы это вещи реального мира, существующие независимо от математика, вызывает не только гносеологические, но и логико-математические трудности.

Совсем не случайно, поэтому появление интуиционистской точки зрения на проблему существования.

Интуиционизм возник как реакция на теоретико-множественную (классическую) концепцию математики. Он избрал главным объектом критики в классической математике понятие актуальной бесконечности и закон исключённого третьего. Отвергая понятие актуальной бесконечности, интуиционизм заменяет его понятием потенциальной бесконечности. Что же касается закона исключённого третьего, согласно которому утверждение А и его отрицание U не могут быть одновременно истинными и ложными, то интуиционизм считает, что утверждение AU может считаться доказанным лишь, тогда когда метод, позволяющий выяснить, какое именно из двух суждений A или U истинно.

На основе критики классической математики и в то же время как реакция на субъективную концепцию интуиционизма возникло также конструктивное направление. Об абстрактных объектах в конструктивной математике рассуждают на основе абстракции потенциальной осуществимости. В соответствии с этой абстракцией в конструктивной математике изучаются не только объекты, уже имеющиеся в наличии, но и возможные (потенциально осуществляемые) объекты. Абстракция актуальной бесконечности как объект математической теории отклоняется в конструктивном направлении. В конструктивной математике отрицают так называемые «чистые» теоремы существования. Например, в конструктивной теории множеств нет теоремы существования неизмеримого по Лебегу множества. В ней существование бесконечного множества с данными свойствами является однозначным в том случае, если дан способ потенциально осуществимого построения объекта с этими свойствами.

В становлении и развитии конструктивного направления в математике важную роль сыграли работы А. А. Маркова, Н. А. Шанина, П. С. Новикова.

Понятие «функция» в математике играет значительную роль. Какую роль играет это понятие в философии? В философских словарях трактовки этого понятия трудно найти. Следовательно, можно сделать вывод, что это понятие в философии играет второстепенную роль. Однако, зависимость между элементами множеств, - как одна из смысловых сторон «функции», имеет непосредственное отношение к окружающему миру.

Таким образом, проблемы реальности и существования в математике имеют неоднозначное истолкование в философии. Вопрос о соотношении понятий и утверждений математики и окружающей действительности был освещён с разных философских позиций. А именно, с точки зрения материализма и субъективного и объективного идеализма, эмпиризма и неопозитивизма. Каждое из вышеперечисленных философских течений имели разные взгляды на разрешение поставленного вопроса.

Проблема существования в математике также была представлена несколькими философскими направлениями: интуиционизмом, конструктивным материализмом и субъективным идеализмом. Каждое из этих направлений имело свою точку зрения на данную проблему. Разносторонность подходов к решению поставленных проблем говорит об их сложности и неоднозначности в толковании.

Для понимания математики как науки важно уяснить особенности её предмета и метода, закономерности её развития, пути обоснования математических теорий и условия их применения к опытным наукам. На протяжении столетий математика считалась образцом точности и строгости для других областей знания. Последние годы наполнены спорами об изменившейся роли математического знания в эпоху постиндустриального развития человечества. Вторжение электронно-вычислительной техники и информационных технологий в экономику и повседневную жизнь людей привело к неоднозначным, противоречивым последствиям для системы математического образования. На состоявшейся в 2000 г. Всероссийской конференции «математика и общество. Математическое образование на рубеже веков» её участники вынуждены были с тревогой констатировать, что в современном общественном сознании складывается искажённое и даже негативное представление о математике и математическом образовании.

Математические абстракции имеют свою исторически сложившуюся специфику, и прямой разрыв с этой традицией в преподавании математики неизбежно порождает массу методических и методологических проблем, преодолеть которые за короткое время едва ли возможно.

Существующий ныне стандарт требований к логической строгости сложился только к концу XIX в. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения математической теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанными между собой некоторыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория может применяться к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющими положенной в её основу системе аксиом.

При полуформальной аксиоматизации математической теории её аксиомы и теоремы справедливы для различных множеств объектов, с одинаковой описанной в аксиомах, структурой отношений и связей между объектами. Каждую такую область называют моделью или интерпретацией аксиоматизированной теории.

Содержательный характер геометрической аксиоматики был поставлен под сомнение в первой половине XIX в. в связи с построением Лобачевским, Бойяи и Гауссом неевклидовых геометрий. Аксиомы оказывались не абсолютными истинами, отрицание которых недопустимо, а гипотезами, истинность которых надо проверять опытным путём либо путём сведения к ранее установленным математическим истинам.

Трактовка цели и средств аксиоматизации математической теории существенно изменилась во второй половине XIX в., когда стало ясно, что каждая математическая теория допускает различные интерпретации. В этой связи была осознана целесообразность такого аксиоматического построения математических теорий, при котором любая из них выступала бы как общая теория, заключения которой верны для объектов любых её интерпретаций.

Теоретико-множественная переработка всех отделов математики при помощи идеи полуформальной аксиоматики позволила устранить неясности и разногласия относительно корректности определений и убедительности доказательств отдельных теорем. Обнаружившиеся в начале XX в. в самой теории множеств неясности и противоречия оказались связанными главным образом с теми её областями, где понятию бесконечного множества была придана общность, излишняя для каких-то приложений и потому не могущая нанести существенного вреда основным разделам «работающей» математики.

В начале XX в. в теории бесконечных множеств был обнаружен ряд парадоксов, поставивших под сомнение возможность её непротиворечивого обоснования. Устранение парадоксов из математики составило важную задачу общенаучного характера. Попытки её разрешения и ознаменовали рождение новой научной дисциплины – философии математики.

В настоящее время в философии математики имеются два основных направления – фундаменталистское и нефундаменталистское. Фундаменталистская философия математики подчиняет исследование математики одной целевой установке – выяснению проблемы сущности математики, не зависящей от её конкретных исторических состояний.

Работы нефундаменталистского направления претендуют на постановку и решение проблем выявления концепций развития математики, поиска схем этого развития. Если для фундаменталистского направления в философии математики основными являются проблемы её сущности, а не функционирования (исследования математики в «статике», а не в «динамике»), то нефундаменталистское направление считает возможным разобраться в законах реального функционирования древнейшей из наук без окончательного решения проблем установления её сущности.

В настоящее время можно выделить три различные ветви нефундаменталистского направления:

-историческая ветвь, полагающая развитие науки некумулятивным. Она восходит к концепции научных революций Т. Куна и применяет данную концепцию к математике. Идея исторического отбрасывания устаревших математических теорий развивается в большом числе публикаций и, в частности в известной книге «Революции в математике»;

-ветвь социальной детерминации, утверждающая зависимость содержания науки от социальных взаимоотношений, от региональных и национальных особенностей. В философии математики так появились взгляды об «арийской математике (Л. Бибербах), о «китайской математике», о «буржуазной математике» в её противопоставлении «пролетарской математике», о «европейской математике» и т. д. Наиболее основательно это течение развивается С. Ретиво и его последователями;

- ветвь культурной детерминации, распадающаяся на течение когнитивно-культурной детерминации, когда формальные структуры, трансформируются в исходные математические структуры конкретной исторической эпохи, считаются обусловленными формирующимися в данной культуре познавательными установками, и течение деятельностно-культурной детерминации, согласно которому сущность культуры составляет социальные эстафеты действия, обеспечивающие облик математики, приемлемые способы действия с математическими объектами и само понимание таких объектов как ролей соотношения обозначений, воспроизводящих себя в соответствии с принципами нормативных систем.

Занимаясь мировоззренческими проблемами математики, философия математики, естественно, представляет собой специальный раздел философского знания. Внутренняя проблематика философии математики (причём первоначально именно в её фундаменталистском варианте) была порождена философией, которая исследуя вопросы сущности и существования абстрактных и идеальных объектов, достоверность логических умозаключений, не могла не отметить такой важный частный случай, как математические объекты (пифагорейская школа, Платон), и столь важный и эффективно разрабатываемый поколениями исследователей способ рассуждений, как математическое доказательство (доказательство от противного, часто связываемое с философией элеатов; доказательство по индукции и т. д.). Но специализация, неизбежно прогрессирующая во всех областях знания по мере их развития, не обошла стороной и философию. Из частного раздела философского знания философия математики постепенно превратилась в достаточно автономную область исследований; исконно философские вопросы (о природе субъективного и объективного и их взаимосвязи) применительно к математическим сущностям стали внутренними вопросами философии математики, поддерживающими её автономное существование, требующими специализации и возбуждающими устойчивый интерес учёных.

Главными прикладными проблемами для философии математики стали вопросы, возникающие в математике и истории математики, причём историко-математические проблемы важны прежде всего для нефундаменталистского направления.