45.Методология логико-математических наук.

Вопрос об отношении математики к реальному миру является одним из основных для объяснения природы математики как науки.

В течение столетий сторонники этих толкований вели борьбу. Но где и как бы ни развёртывалась эта борьба, она всегда концентрировалась около вопроса об отношении математики к материальной действительности. В этой борьбе большинство ведущих математиков, как правило, отстаивало материалистическое толкование математики.

Методы математики способствуют механике, астрономии, физике и другим наукам проникать в сущность законов природы и предвидеть то, что ещё осталось за границами знания. Центральной в философских вопросах математики является проблема соотношения весьма абстрактных математических конструкций и реальной действительности.

В современной математике и математической логике весьма живо обсуждаются проблема существования в применении к абстрактным объектам. Номинализм и реализм ведут нескончаемые споры о принятии или непринятии абстрактных объектов, причём отказ от их рассмотрения мотивируется тем, что в противном случае мы придём к постулированию мира идей Платона. Те же, кто признают абстрактные объекты, тем не менее, отмежевываются от Платона, заявляя, что их рассмотрение не ведёт к онтологии платоновского толка. Неопозитивизм в лице своих виднейших представителей Б. Рассела и Р. Карнапа также неоднократно обращался к рассмотрению проблемы существования. Эта проблема возникает из осознания невозможности сведения абстрактных математических объектов к единичным чувственно воспринимаемым вещам.

Об абстрактных объектах в конструктивной математике рассуждают на основе абстракции потенциальной осуществимости. В соответствии с этой абстракцией в конструктивной математике изучаются не только объекты, уже имеющиеся в наличии, но и возможные (потенциально осуществляемые) объекты. Абстракция актуальной бесконечности как объект математической теории отклоняется в конструктивном направлении.

Для понимания математики как науки важно уяснить особенности её предмета и метода, закономерности её развития, пути обоснования математических теорий и условия их применения к опытным наукам.

При полуформальной аксиоматизации математической теории её аксиомы и теоремы справедливы для различных множеств объектов, с одинаковой описанной в аксиомах, структурой отношений и связей между объектами. Каждую такую область называют моделью или интерпретацией аксиоматизированной теории.

В настоящее время в философии математики имеются два основных направления – фундаменталистское и нефундаменталистское. Фундаменталистская философия математики подчиняет исследование математики одной целевой установке – выяснению проблемы сущности математики, не зависящей от её конкретных исторических состояний.

Занимаясь мировоззренческими проблемами математики, философия математики, естественно, представляет собой специальный раздел философского знания. Главными прикладными проблемами для философии математики стали вопросы, возникающие в математике и истории математики, причём историко-математические проблемы важны прежде всего для нефундаменталистского направления.