Глава 17

ЛОГИКА, СЕМАНТИКА И МЕТОДОЛОГИЯ

После публикации «Principia Mathematica» символическая логика не получила значительного развития в Англии; лидерство перешло к Германии, Голландии, Польше и Соединенным Штатам, и даже там оно перешло не к философам, а к математикам 1. Вначале главное внимание уделялось усовершенствованию того, что содержалось в «Principia Mathematica». Ее аксиомы были сведены к одной аксиоме, некоторые ее элементы, такие, как аксиома сводимости и теория типов, были сочтены излишними и исключены 2. Однако не все математики с удовлетворением восприняли то, что математику можно построить на фундаменте логики — в «логистической» манере Рассела и Уайтхеда, а тем более, что непротиворечивость логики можно установить независимо от непротиворечивости математики.

Вскоре сложились две школы антилогистической математики: формалистов, возглавляемых Гильбертом, и интуиционистов, избравших своим учителем Брауэра 3. В своих трудах по основаниям математики 4 Гильберт ставил задачу построить «полностью формализованную» математику, т. е. математику, имеющую логическую структуру, совершенно независимую от значения используемых в ней выражений. В отличие от «Principia Mathematica», такое чистое исчисление не включает в себя явных определений, поскольку оно не соотнесено ни с каким конкретным классом объектов. Вместо определений оно содержит правила «образования», задающие способы манипулирования с символами системы, и правила «преобразования», определяющие методы выведения формул из аксиом. Хотя эти правила отнесены к «аксиомам системы», они не являются «самоочевидными истинами»; по мнению Гильберта, они имеют точно такое же назначение, что и шахматные правила. И «символы» следует рассматривать просто как (действительные или возможные) пометки на бумаге, не выражающие ничего конкретного.

Рассел сетовал, что «формалисты уподобляются часовщику, который так поглощен приданием красивой формы своим часам, что забыл об их назначении отсчитывать время». По мнению Рассела, началом арифметики должны быть натуральные числа, а не неинтерпретированные символы, а ее результатом — арифметические истины, а не произвольные правила. Гильберт охотно соглашался с Расселом в том, что обычно мы используем арифметические символы для счета. Но его, Гильберта, цель не является обычной. Он ставит себе задачу доказать непротиворечивость математики; для этой особой цели, по его мнению, необходимо сначала преобразовать арифметику в формализованную аксиоматическую систему. Согласно Гильберту, построение и изучение подобных систем составляет задачу не самой математики, а «метаматематики». В «метаматематике» математические системы не используются, а описываются; именно поэтому математические

==306