Глава 9

ние для каждого такого множества. Подобное «разбиение» составляет цель теории типов; однако она применяется скорее к пропозициональным функциям, чем к суждениям, поскольку первые, по мнению Рассела, более важны для математики.

Собственно говоря, существует две теории типов — простая и разветвленная. Простая теория зиждется на концепции «области значения». В пропозициональной функции «х (есть) смертей», доказывает Рассел, вместо х можно подставить определенные константы и в результате получить истинное суждение, можно подставить другие константы и получить ложное суждение, в некоторых же случаях результирующее суждение будет не истинным и не ложным, но бессмысленным*. Константы, которые, будучи подставлены вместо х, дают осмысленное суждение, составляют «область значения» или «тип» данной функции. В случае «х (есть) смертей» область значения ограничивается конкретными единичными сущностями. Всегда имеет смысл утверждать о конкретной вещи, что она смертна (даже если это ложно). Но бессмысленно, говорит Рассел, называть смертным, скажем, «класс людей» или «человечество». Общий принцип состоит в том, что функция всегда должна принадлежать к более высокому типу, чем ее «аргумент». Вот почему аргументом функции «(есть) смертей» может быть «Сократ», но не «класс людей», и вот почему, далее, вещь может быть членом класса, класс же не может быть и не может не быть — отрицание здесь столь же бессмысленно, сколь и утверждение, — членом того, что порядком ниже класса классов. (Точно так же, как индивид может быть членом клуба, клуб же может быть членом разве что ассоциации клубов.) В парадоксе о классе, который является членом самого себя, говорит Рассел, этим правилом пренебрегли. Предполагалось, что все классы принадлежат к одному типу и что любой класс может быть членом другого класса. Но это предположение, доказывает Рассел, приводит к порочному кругу: «класс всех классов» был бы тогда классом, дополнительным по отношению ко «всем классам», которые он включает в себя как класс. Если четко сформулировать различие между типами, то будет совершенно бессмысленно утверждать, что класс является либо не является членом самого себя. Таким образом, грозная антиномия исчезает.

Рассел полагает, что в повседневной речи мы бессознательно «уважаем» различия между типами — бессознательно, поскольку никому не пришло бы в голову сказать, например, что «человечество не есть человек». Но если «человечество» и «человек» явно принадлежат к разным типам, то фундаментальные понятия логики (такие, как истина, ложь, функция, свойство, класс) не принадлежат к фиксированному или определенному типу. Обычно мы говорим просто об «истинах», все равно — имеем ли мы в виду истины первого порядка (х есть у), истины второго порядка (х есть у истинно) или же истины третьего порядка (истинно, что «х есть у истинно»). В такой ситуации парадоксы неизбежны; мы воображаем, будто суж-

Надо заметить (поскольку иногда утверждают обратное), что трихотомия «истинное — ложное — бессмысленное» отнюдь не была чем-то новым. Как подчеркивает сам Рассел, она присутствовала уже в старых логиках — совершенно явно в «Системе логики» Милля, — и мы уже имели случай упомянуть о ней, когда говорили, например, о Фреге.

==173

дения об истинах суть, как истинные, суждения о себе самих, тогда как на самом деле они представляют собой истины второго порядка об истинах первого порядка, и... вскоре мы уже барахтаемся в море бессмыслицы. Единственный выход, по мнению Рассела, состоит в том, чтобы всегда отдавать себе полный отчет относительно порядка истин, классов или функций, о которых мы говорим*.

Простая теория типов, полагает Рассел, не вполне устраняет возможность возникновения парадоксов. Поэтому необходимо провести дальнейшие различения между типами. Сравните две пропозициональные функции «х (есть) генерал» и «х обладает всеми свойствами великого генерала». Они имеют одну и ту же область значения: в обоих случаях вместо х можно подставить «Наполеон». Но предикат «все свойства великого генерала» представляет собой неправомерную всеобщность, поскольку сам этот предикат будет одним из таких свойств. Этой всеобщности можно избежать, по мнению Рассела, только посредством различения разных порядков в рамках каждого типа; тогда «обладает всеми свойствами великого генерала» будет относиться к более высокому порядку, чем «(есть) генерал», и само по себе не будет свойством. «Разветвленная» теория типов, полагает Рассел, существенно важна в случае, когда необходимо успешно избежать всяких логических антиномий.

Безусловно, введение разветвленной теории типов значительно усложняет первоначальную иерархию типов. Однако гораздо более серьезное препятствие, по мнению Рассела и его критиков, состоит в том, что разветвленная теория, по-видимому, исключает некоторые разновидности математического анализа, в которых используется то, что классифицируется ею как неправомерные всеобщности21. Рассел полагал, что эту трудность можно преодолеть с помощью «аксиомы сводимости», гласящей, что для любого утверждения формы «х обладает всеми свойствами у» существует формально эквивалентное утверждение, не содержащее указания на «все свойства», но которое, просто в силу формальной эквивалентности, может заменить первоначальное утверждение в математическом рассуждении. Но эта аксиома не представлялась неотъемлемым элементом дедуктивной системы «Principia Mathematica» и не обладала той «самоочевидностью», которую требовали математики. Не удивительно, что другие логики пытались избежать парадоксов без помощи разветвленной теории типов.

Наиболее известная из таких попыток изложена в очерке Ф. П. Рамсея «Основание математики»22, и во втором издании «Принципов матема-

Впоследствии Рассел признался, что у него есть сомнения относительно типа как такового. Можно ли утверждать, что есть разные типы типа? Но как можно говорить, что Сократ и человечество принадлежат к разным типам, если не существует некоего единого общего понимания типа? Не грешим ли мы против теории типов, приписывая единую функцию принадлежать к разным типам аргументам разных типов? Исходя из этих соображений, Рассел приветствовал «лингвистическую» интерпретацию теории типов, предложенную, в частности, Р. Карнапом; он пришел к выводу, что ошибочно говорить о реальных сущностях как о бытии того или иного типа, поскольку к разным типам принадлежат именно выражения. И непротиворечиво утверждать, на языке второго порядка, что слова «Сократ» и «человечество» имеют различные синтаксические функции. Об этом см., в частности, в «Ответе критикам» (в «Философии Бертрана Рассела»). См. также: Smart J. J. Whitehead and Russell's Theory of Types // Analysis. 1950; Weiss P. The Theory of Types // Mind. 1928.

==174