Глава 9

что в христианской общине имеет место взаимно однозначное соответствие между законными женами и законными мужьями, значит утверждать, что если х есть законный муж у и х1 есть законный муж у, то х и х1 тождественны. Таким образом, полагает Рассел, определение чисел в терминах сходных классов не содержит порочного круга.

В данном определении числа используется одна из основных процедур философского метода Рассела — то, что он называет «принципом абстракции» и что вернее было бы назвать «принципом избавления от абстракций». Согласно обычной точке зрения, «число» определяется посредством абстрагирования как общее свойство множества групп, обладающих одинаковой численностью. Но Рассел возражает: невозможно показать, что множество групп обладает только одним общим свойством — тем, которое мы различили; действительно, мы ищем некое единственное свойство, абстрагирование же приводит нас к целому классу свойств. «Принцип абстракции» — который можно беспрепятственно использовать при условии выполнения определенных формальных условий17 — устраняет эту трудность: он позволяет определять [число] посредством указания на класс, состоящий из всех классов, что находятся в некотором уникальном отношении (например, в отношении взаимно однозначного соответствия) друг к другу. Рассел готов признать, что такое определение не исключает возможности наличия свойства, общего всем членам этих классов, но оно не нуждается в такой предпосылке. Здесь впервые четко видно то, что впоследствии стало главной движущей силой философии Рассела, — стремление сократить количество сущностей и свойств, существование которых необходимо допустить, чтобы составить «полное описание мира».

Даже если определение чисел в терминах классов само по себе не содержит парадоксов, Рассел вскоре обнаружил, что оно чревато парадоксами. В частности, имеются трудности в связи с понятием «класса всех классов». Казалось бы, очевидно, что как таковой он есть класс; отсюда следует, что он есть член класса всех классов, т. е. включает в качестве члена сам себя. И в этом отношении он не единичен: так, класс вещей, которые не являются людьми, сам по себе есть нечто такое, что не является человеком. В то же время имеются классы, которые не включают самих себя. Класс вещей, являющихся людьми, например, как таковой не есть человек.

Следовательно, можно предположить, что классы делятся на два типа: они либо являются членами самих себя, либо не являются членами самих себя. Теперь допустим, что мы рассматриваем класс, состоящий из всех классов, которые не являются членами самих себя. Является ли этот класс членом самого себя или нет? Если он является членом самого себя, тогда он не есть один из тех классов, которые не являются членами самих себя; а между тем для того, чтобы быть членом самого себя, он должен быть одним из классов, которые не являются членами самих себя. Стало быть, налицо явное противоречие. Но если он не есть член самого себя, тогда он не есть один из тех классов, что не являются членами самих себя, — и опять налицо противоречие. Таким образом, мы пришли к антиномии, поскольку любая альтернатива таит в себе противоречие.

==171

Разумеется, парадоксы не были новостью. Один из них — парадокс о лжеце — почти ровесник философии. Рассел формулирует его следующим образом. Допустим, человек говорит: «Я лгу». В таком случае, если то, что он говорит, истинно, тогда он лжет, т. е. то, что он говорит, не истинно; и если то, что он говорит, не истинно, тогда он тоже лжет, т. е. то, что он говорит, истинно. С этим и другими известными парадоксами обычно справлялись с помощью простых уловок; но хитрость бессильна против парадокса «класса всех классов» и других парадоксов, выявленных в математике и логике.

Рассел, который к тому времени уже знал о работе Фреге, сообщил ему о своем парадоксе18. Фреге был потрясен. «Едва ли .что-либо может принести ученому большее горе, — написал он в приложении к «Фундаментальным законам арифметики», — чем неустойчивость одной из опор его строения, обнаружившаяся после завершения работы». Парадокс Рассела, полагал он, действительно пошатнул одну из опор его строения. По мнению Фреге, трудность заключается в том, что для того, чтобы построить арифметику на основании логики, мы должны быть способны перейти от правильно построенного понятия к его объему, в данном случае — непротиворечиво говорить о членах правильно построенного класса классов, которые не являются членами самих себя. Однако именно это вроде бы и исключал парадокс Рассела. Фреге попытался разрешить обнаруженное затруднение; для этого он модифицировал свою прежнюю характеристику «равных объемов» таким образом, чтобы исключить объем понятия из класса объектов, его составляющих. В таком случае нельзя будет сказать, что класс вещей, которые не являются людьми, — объем понятия «не люди», — как таковой не есть человек или что класс классов, которые не являются членами самих себя, есть член самого себя. По его мнению, это дополнительное ограничение в общем позволяет избежать парадоксов Рассела.

Сам же Рассел предложил более радикальное решение — теорию типов19. В сущности, он никогда не считал ее вполне удовлетворительной. Он даже называет ее хаотичной и незавершенной. Но она оказала серьезное влияние на развитие современной философии.

Все парадоксы, доказывает он, возникают в результате наличия определенного вида порочного круга20. Он налицо во всех случаях, когда предполагается, что «совокупность объектов может включать члены, которые могут быть определены только посредством этой совокупности в целом». Рассмотрим пример. Положим, мы говорим: «все суждения имеют свойство X». Казалось бы, наше предложение само является суждением, так что класс суждений имеет своим членом одно суждение, которое предполагает, что этот класс был завершенным (ведь речь идет о «всех суждениях») до того, как был упомянут. Данное противоречие — что данный класс должен быть сразу завершенным и незавершенным — выявляет тот факт, что такого класса нет. «Мы должны будем сказать поэтому, — заключает Рассел, — что суждения о "всех суждениях" бессмысленны». Как же тогда возможна теория суждений? Псевдовсеобщность «все суждения», отвечает Рассел, необходимо разбить на множества суждений, каждое из которых может быть подлинной всеобщностью. После этого можно дать отдельное описа-

==172